题目
在杨氏双缝干涉实验中,双缝间距为d,双缝到屏的距离为D(D>>d),求:1)当波长的单色平行光垂直入射到此双缝上时,屏上的各级明纹中心与中央明纹中心的间距;2)当波长范围400~550nm复色平行光垂直入射到此双缝上时,屏上哪些级次的光谱是清晰可辨的。
在杨氏双缝干涉实验中,双缝间距为d,双缝到屏的距离为D(D>>d),求:
1)当波长
的单色平行光垂直入射到此双缝上时,屏上的各级明纹中心与中央明纹中心的间距;
2)当波长范围400~550nm复色平行光垂直入射到此双缝上时,屏上哪些级次的光谱是清晰可辨的。
题目解答
答案
1) 对于杨氏双缝干涉实验，相邻明纹间距为：
所以第 n 级明纹中心与中央明纹中心的间距为
2) 要使光谱清晰可辨，需要满足干涉的最大光程差小于等于一个波长。
对于第 n 级条纹，光程差为
所以
，即
对于波长范围 400nm 到 550nm ，
（取整数部分）
所以清晰可辨的级次为小于等于
的整数.
解析
步骤 1：明纹中心间距计算
在杨氏双缝干涉实验中，当单色光垂直入射时，相邻明纹中心的间距可以通过公式 $\Delta x = \dfrac{\lambda D}{d}$ 计算，其中 $\lambda$ 是光的波长，$D$ 是双缝到屏的距离，$d$ 是双缝间距。对于第 $n$ 级明纹中心与中央明纹中心的间距，可以表示为 $x_n = n \dfrac{\lambda D}{d}$，其中 $n$ 是明纹的级次。
步骤 2：光谱清晰可辨条件
当复色光垂直入射时，为了使光谱清晰可辨，相邻明纹中心的间距应该大于或等于光谱中波长的最小值。对于第 $n$ 级明纹，光程差为 $d \sin \theta = nd$，其中 $\theta$ 是很小的角度，可以近似为 $\sin \theta \approx \tan \theta = \dfrac{x}{D}$。因此，$d \dfrac{x}{D} = n \lambda$，即 $n \lambda = n \dfrac{\lambda D}{d}$。为了使光谱清晰可辨，需要满足 $n \lambda_{\text{max}} \leq d$，其中 $\lambda_{\text{max}}$ 是光谱中波长的最大值。因此，$n \leq \dfrac{d}{\lambda_{\text{max}}}$。对于波长范围 400nm 到 550nm，$n_{\text{max}} = \left[ \dfrac{d}{400} - \dfrac{d}{550} \right]^{-1}$（取整数部分）。
在杨氏双缝干涉实验中，当单色光垂直入射时，相邻明纹中心的间距可以通过公式 $\Delta x = \dfrac{\lambda D}{d}$ 计算，其中 $\lambda$ 是光的波长，$D$ 是双缝到屏的距离，$d$ 是双缝间距。对于第 $n$ 级明纹中心与中央明纹中心的间距，可以表示为 $x_n = n \dfrac{\lambda D}{d}$，其中 $n$ 是明纹的级次。
步骤 2：光谱清晰可辨条件
当复色光垂直入射时，为了使光谱清晰可辨，相邻明纹中心的间距应该大于或等于光谱中波长的最小值。对于第 $n$ 级明纹，光程差为 $d \sin \theta = nd$，其中 $\theta$ 是很小的角度，可以近似为 $\sin \theta \approx \tan \theta = \dfrac{x}{D}$。因此，$d \dfrac{x}{D} = n \lambda$，即 $n \lambda = n \dfrac{\lambda D}{d}$。为了使光谱清晰可辨，需要满足 $n \lambda_{\text{max}} \leq d$，其中 $\lambda_{\text{max}}$ 是光谱中波长的最大值。因此，$n \leq \dfrac{d}{\lambda_{\text{max}}}$。对于波长范围 400nm 到 550nm，$n_{\text{max}} = \left[ \dfrac{d}{400} - \dfrac{d}{550} \right]^{-1}$（取整数部分）。