1.求下列函数的留数:-|||-(1) (z)=dfrac ({e)^z-1}({z)^5} 在 z=0 处;-|||-(2) (z)=(e)^dfrac (1{x-1)} 在 z=1 处.

步骤 1：计算 $f(z)=\dfrac {{e}^{z}-1}{{z}^{5}}$ 在 z=0 处的留数
首先，我们需要将 $e^z$ 展开为泰勒级数，然后减去1，得到 $e^z - 1$ 的泰勒级数。接着，将这个级数除以 $z^5$，并找到 $z^{-1}$ 的系数，即为留数。
步骤 2：计算 $f(z)={e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 在 z=1 处的留数
首先，我们需要将 $e^{\frac{1}{x-1}}$ 展开为洛朗级数，然后找到 $z^{-1}$ 的系数，即为留数。

【答案】
(1) $Res[ f(z),0] =\dfrac {1}{24}$ ;
(2) $Re[ f(z),1] =1$.

【解析】
步骤 1：计算 $f(z)=\dfrac {{e}^{z}-1}{{z}^{5}}$ 在 z=0 处的留数
$e^z$ 的泰勒级数为 $1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \cdots$，因此 $e^z - 1$ 的泰勒级数为 $z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \cdots$。将这个级数除以 $z^5$，得到 $\frac{1}{z^4} + \frac{1}{2!z^3} + \frac{1}{3!z^2} + \frac{1}{4!z} + \frac{1}{5!} + \cdots$。因此，$z^{-1}$ 的系数为 $\frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$，即为留数。
步骤 2：计算 $f(z)={e}^{\dfrac {1}{x-1}}$ 在 z=1 处的留数
$e^{\frac{1}{x-1}}$ 的洛朗级数为 $1 + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2!(x-1)^2} + \frac{1}{3!(x-1)^3} + \cdots$。因此，$z^{-1}$ 的系数为 1，即为留数。