函数f(x)=(x+|x|)^2的一个原函数F(x)=(）。A. (4)/(3)x^3B. (4)/(3)|x|x^2C. (2)/(3)x(x^2+|x|^2)D. (2)/(3)x^2(x+|x|)

考查要点：本题主要考查原函数的概念及分段函数的积分方法，同时涉及绝对值函数的处理技巧。

解题核心思路：

1. 原函数定义：原函数$F(x)$满足$F'(x) = f(x)$，因此需通过求导验证选项是否正确。
2. 分段处理：由于$f(x)$含绝对值，需分$x \geq 0$和$x < 0$两种情况讨论，简化表达式后积分。
3. 选项验证：对每个选项求导，判断是否与$f(x)$一致。

破题关键点：

• 绝对值函数的分段化简：明确$x \geq 0$和$x < 0$时$f(x)$的表达式。
• 导数与原函数的匹配性：通过求导排除错误选项，锁定正确答案。

步骤1：分析$f(x)$的表达式
当$x \geq 0$时，$|x| = x$，故$f(x) = (x + x)^2 = (2x)^2 = 4x^2$；
当$x < 0$时，$|x| = -x$，故$f(x) = (x - x)^2 = 0^2 = 0$。
因此，$f(x)$可表示为分段函数：
$f(x) = \begin{cases}4x^2, & x \geq 0, \\0, & x < 0.\end{cases}$

步骤2：验证选项D的导数
选项D为$F(x) = \frac{2}{3}x^2(x + |x|)$。

• 当$x \geq 0$时，$|x| = x$，则$F(x) = \frac{2}{3}x^2 \cdot 2x = \frac{4}{3}x^3$，导数为$F'(x) = 4x^2$，与$f(x)$一致。
• 当$x < 0$时，$|x| = -x$，则$F(x) = \frac{2}{3}x^2 \cdot 0 = 0$，导数为$F'(x) = 0$，与$f(x)$一致。

步骤3：排除其他选项

• 选项A：$F(x) = \frac{4}{3}x^3$，导数为$4x^2$，但$x < 0$时$f(x) = 0$，不符。
• 选项B：$F(x) = \frac{4}{3}|x|x^2$，当$x < 0$时导数为$-4x^2 \neq 0$，不符。
• 选项C：$F(x) = \frac{2}{3}x(x^2 + |x|^2)$，化简后导数恒为$4x^2$，但$x < 0$时$f(x) = 0$，不符。