题目
4.设A=(}1&-1&12&4&a-3&-3&5=2,若A有3个线性无关的特征向量则a=（）A. 2B. -2C. 4D. -4
4.设$A=\left(\begin{matrix}1&-1&1\\2&4&a\\-3&-3&5\end{matrix}\right)$的特征值为$\lambda_{1}=6,\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$,若A有3个线性无关的特征向量则a=（）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
题目解答
答案
B. -2
解析
步骤 1：计算矩阵 $A$ 的行列式
根据特征值的性质，矩阵 $A$ 的行列式等于其特征值的乘积。已知特征值为 $\lambda_1 = 6$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 2$，因此行列式 $|A|$ 应等于 $6 \times 2 \times 2 = 24$。
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$： \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & a \\ -3 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 5 - a \cdot (-3)) - (-1) \cdot (2 \cdot 5 - a \cdot (-3)) + 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 4 \cdot (-3)) \] \[ = 1 \cdot (20 + 3a) + 1 \cdot (10 + 3a) + 1 \cdot (-6 + 12) \] \[ = 20 + 3a + 10 + 3a + 6 \] \[ = 36 + 6a. \]
步骤 3：求解 $a$ 的值
令行列式 $|A|$ 等于 24，解得 \[ 36 + 6a = 24 \implies 6a = -12 \implies a = -2. \]
根据特征值的性质，矩阵 $A$ 的行列式等于其特征值的乘积。已知特征值为 $\lambda_1 = 6$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 2$，因此行列式 $|A|$ 应等于 $6 \times 2 \times 2 = 24$。
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$： \[ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & a \\ -3 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 \cdot 5 - a \cdot (-3)) - (-1) \cdot (2 \cdot 5 - a \cdot (-3)) + 1 \cdot (2 \cdot (-3) - 4 \cdot (-3)) \] \[ = 1 \cdot (20 + 3a) + 1 \cdot (10 + 3a) + 1 \cdot (-6 + 12) \] \[ = 20 + 3a + 10 + 3a + 6 \] \[ = 36 + 6a. \]
步骤 3：求解 $a$ 的值
令行列式 $|A|$ 等于 24，解得 \[ 36 + 6a = 24 \implies 6a = -12 \implies a = -2. \]