题目

24.（4.0分）若y=3sin x+e^x，则y'=____。

24.（4.0分）若$y=3\sin x+e^{x}$，则y'=____。

题目解答

答案

为了求函数 $ y = 3\sin x + e^x $ 的导数 $ y' $，我们需要分别对函数的每一项求导，然后将结果相加。下面我们将分步进行： 1. 求 $ 3\sin x $ 的导数： - 我们知道 $ \sin x $ 的导数是 $ \cos x $。 - 因此， $ 3\sin x $ 的导数是 $ 3\cos x $。 2. 求 $ e^x $ 的导数： - 我们知道 $ e^x $ 的导数是 $ e^x $。 - 因此， $ e^x $ 的导数是 $ e^x $。 3. 将两部分的导数相加： - $ 3\sin x $ 的导数是 $ 3\cos x $。 - $ e^x $ 的导数是 $ e^x $。 - 所以， $ y' = 3\cos x + e^x $。 因此，函数 $ y = 3\sin x + e^x $ 的导数 $ y' $ 是 $\boxed{3\cos x + e^x}$。

解析

本题考查函数求导的基本运算，主要运用到加法求导法则以及常见函数的求导公式。解题思路是先根据加法求导法则，将函数$y = 3\sin x + e^x$拆分为两项分别求导，再将两项的导数相加得到$y'$。

  1. 求$3\sin x$的导数：
    • 根据常数与函数乘积的求导法则$(cf(x))^\prime = cf^\prime(x)$（其中$c$为常数，$f(x)$为可导函数），对于$y_1 = 3\sin x$，这里$c = 3$，$f(x)=\sin x$。
    • 又因为常见函数求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，所以$y_1^\prime=(3\sin x)^\prime = 3\times(\sin x)^\prime=3\cos x$。
  2. 求$e^x$的导数：
    • 根据常见函数求导公式$(e^x)^\prime = e^x$，对于$y_2 = e^x$，则$y_2^\prime=(e^x)^\prime = e^x$。
  3. 求$y$的导数$y'$：
    • 根据加法求导法则$(u(x)+v(x))^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)$，对于$y = y_1 + y_2=3\sin x + e^x$，有$y^\prime=y_1^\prime + y_2^\prime$。
    • 把$y_1^\prime = 3\cos x$和$y_2^\prime = e^x$代入上式，可得$y^\prime=3\cos x + e^x$。