12.已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= {x)^2(e)^-y,-1lt xlt 1,ygt 0 0, .-|||-(1)求边缘概率密度fx(x),fy(y );-|||-(2)X与Y是否相互独立?

步骤 1：求边缘概率密度fx(x)
边缘概率密度fx(x)是通过将联合概率密度函数f(x,y)对y进行积分得到的。对于给定的x，y的范围是(0, +∞)。
\[ {f}_{x}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy = \int_{0}^{+\infty} \dfrac {3}{2}{x}^{2}{e}^{-y} dy \]
\[ = \dfrac {3}{2}{x}^{2} \int_{0}^{+\infty} {e}^{-y} dy = \dfrac {3}{2}{x}^{2} [-{e}^{-y}]_{0}^{+\infty} = \dfrac {3}{2}{x}^{2} [0 - (-1)] = \dfrac {3}{2}{x}^{2} \]
因此，边缘概率密度fx(x)为：
\[ {f}_{x}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {3}{2}{x}^{2},-1\lt x\lt 1\\ 0,\end{matrix} \right. \]

步骤 2：求边缘概率密度fy(y)
边缘概率密度fy(y)是通过将联合概率密度函数f(x,y)对x进行积分得到的。对于给定的y，x的范围是(-1, 1)。
\[ {f}_{y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx = \int_{-1}^{1} \dfrac {3}{2}{x}^{2}{e}^{-y} dx \]
\[ = \dfrac {3}{2}{e}^{-y} \int_{-1}^{1} {x}^{2} dx = \dfrac {3}{2}{e}^{-y} \left[ \dfrac {1}{3}{x}^{3} \right]_{-1}^{1} = \dfrac {3}{2}{e}^{-y} \left( \dfrac {1}{3} - \left( -\dfrac {1}{3} \right) \right) = {e}^{-y} \]
因此，边缘概率密度fy(y)为：
\[ {f}_{y}(y) = \left \{ \begin{matrix} {e}^{-y},y\gt 0\\ 0,y\leqslant 0\end{matrix} \right. \]

步骤 3：判断X与Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是它们的联合概率密度等于它们边缘概率密度的乘积，即f(x,y) = fx(x)fy(y)。
\[ f(x,y) = \dfrac {3}{2}{x}^{2}{e}^{-y} = \left( \dfrac {3}{2}{x}^{2} \right) \left( {e}^{-y} \right) = {f}_{x}(x) {f}_{y}(y) \]
因此，X与Y相互独立。