题目

4.已知函数 (x)= ()-|||- C. https:/img.zuoyebang.cc/zyb_46c9576e276df328a074442e25a571d2.jpg,dfrac {3)(2) 或 pm sqrt (3) D. sqrt (3)

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查分段函数的求值问题，需要根据自变量的不同取值范围，代入对应的表达式求解，并验证解是否符合该区间的条件。

解题核心思路：

  1. 分段讨论：将函数定义域分成三个区间（根据题目隐含的分段情况），分别代入对应的表达式求解方程。
  2. 验证解的有效性：求出的解必须满足当前区间的取值范围，否则舍去。
  3. 综合结果：将所有有效解汇总，得到最终答案。

破题关键点：

  • 正确识别分段区间：题目可能存在排版错误，需根据答案解析补充完整分段函数的定义（假设$x \leq -1$时$f(x) = x + 2$）。
  • 逐段代入求解：对每个区间内的方程分别求解，并严格检查解是否在对应区间内。

假设函数定义为：
$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \leq -1, \\x^2, & -1 < x < 2, \\2x, & x \geq 2.\end{cases}$

分段求解$f(x) = 3$：

1. 当$x \leq -1$时

  • 表达式：$f(x) = x + 2$
  • 方程：$x + 2 = 3$
  • 解：$x = 1$
  • 验证：$x = 1$不满足$x \leq -1$，舍去。

2. 当$-1 < x < 2$时

  • 表达式：$f(x) = x^2$
  • 方程：$x^2 = 3$
  • 解：$x = \sqrt{3}$或$x = -\sqrt{3}$
  • 验证：
    • $\sqrt{3} \approx 1.732$，满足$-1 < \sqrt{3} < 2$，保留。
    • $-\sqrt{3} \approx -1.732$，不满足$-1 < x < 2$，舍去。

3. 当$x \geq 2$时

  • 表达式：$f(x) = 2x$
  • 方程：$2x = 3$
  • 解：$x = \dfrac{3}{2} = 1.5$
  • 验证：$x = 1.5$不满足$x \geq 2$，舍去。

最终有效解：$x = \sqrt{3}$。