5.讨论 f(x)= { ,xgt 0 . 在 x=0 处的可导性.

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的可导性判断，需要掌握左右导数的定义及极限的计算方法。

解题核心思路：

1. 分段函数的可导性需分别计算左导数和右导数，若两者相等，则函数在该点可导。
2. 左导数：当$x \to 0^-$时，函数为$\ln(1-x^2)$，需用导数定义计算极限。
3. 右导数：当$x \to 0^+$时，函数为$x^2 \sin \frac{1}{x}$，需注意$\sin \frac{1}{x}$的有界性对极限的影响。

破题关键点：

• 左导数中利用泰勒展开或等价无穷小替换简化计算。
• 右导数中通过夹逼定理判断极限值。

左导数计算

当$x \leq 0$时，$f(x) = \ln(1-x^2)$，左导数定义为：
$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\ln(1-h^2) - \ln 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\ln(1-h^2)}{h}$
当$h \to 0$时，$\ln(1-h^2) \approx -h^2$（泰勒展开或等价无穷小替换），因此：
$f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-h) = 0$

右导数计算

当$x > 0$时，$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$，右导数定义为：
$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 \sin \frac{1}{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h \sin \frac{1}{h}$
由于$|\sin \frac{1}{h}| \leq 1$，且$h \to 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{h \to 0^+} h \sin \frac{1}{h} = 0$
因此，$f'_+(0) = 0$。

可导性判断

左右导数均为$0$，故$f(x)$在$x=0$处可导，导数为$0$。