题目
设幂级数sum (a)_(n)((x-2))^n在x=-2处收敛,则此幂级数在x=5处( )A. 一定发散 B. 一定条件收敛 C. 一定绝对收敛 D. 敛散性不能判定
设幂级数
在x=-2处收敛,则此幂级数在x=5处( )
B. 一定条件收敛
C. 一定绝对收敛
D. 敛散性不能判定
题目解答
答案
C. 一定绝对收敛
解析
步骤 1：确定收敛半径
幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-2)^n\) 在 \(x=-2\) 处收敛，这意味着 \(x=-2\) 在收敛区间内。因此，收敛半径 \(R\) 至少为 \(|-2-2|=4\)。即 \(R \geq 4\)。
步骤 2：判断在 \(x=5\) 处的收敛性
由于 \(x=5\) 时，\(x-2=3\)，而 \(|3|<4\)，即 \(x=5\) 在收敛半径内。因此，幂级数在 \(x=5\) 处一定收敛。
步骤 3：判断收敛类型
由于幂级数在收敛半径内绝对收敛，因此在 \(x=5\) 处，幂级数一定绝对收敛。
幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-2)^n\) 在 \(x=-2\) 处收敛，这意味着 \(x=-2\) 在收敛区间内。因此，收敛半径 \(R\) 至少为 \(|-2-2|=4\)。即 \(R \geq 4\)。
步骤 2：判断在 \(x=5\) 处的收敛性
由于 \(x=5\) 时，\(x-2=3\)，而 \(|3|<4\)，即 \(x=5\) 在收敛半径内。因此，幂级数在 \(x=5\) 处一定收敛。
步骤 3：判断收敛类型
由于幂级数在收敛半径内绝对收敛，因此在 \(x=5\) 处，幂级数一定绝对收敛。