题目

37/44单选题(2分)设z=cosi，则（）A Imz=0B Rez=πC |z|=0D argz=π

37/44单选题(2分) 设z=cosi，则（） A Imz=0 B Rez=π C |z|=0 D argz=π

题目解答

答案

利用余弦函数的指数形式，有： \[ \cos i = \frac{e^{ii} + e^{-ii}}{2} = \frac{e^{-1} + e^{1}}{2} = \frac{e + e^{-1}}{2} \] 该表达式为实数，因此虚部为0。分析选项： - A. $\text{Im} z = 0$：正确，虚部为0。 - B. $\text{Re} z = \pi$：错误，实部为$\frac{e + e^{-1}}{2} \neq \pi$。 - C. $|z| = 0$：错误，模为$\left| \frac{e + e^{-1}}{2} \right| \neq 0$。 - D. $\arg z = \pi$：错误，幅角为0（正实数）。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题考查复变函数中的余弦函数计算及复数的基本性质。关键点在于：

  1. 利用欧拉公式将复数余弦函数转化为指数形式，明确计算结果是否为实数；
  2. 根据结果判断复数的虚部、实部、模长、幅角，排除错误选项。

步骤1：将$\cos i$转化为指数形式

根据欧拉公式，复数余弦函数可表示为：
$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$
代入$z = i$，得：
$\cos i = \frac{e^{i \cdot i} + e^{-i \cdot i}}{2} = \frac{e^{-1} + e^{1}}{2} = \frac{e + e^{-1}}{2}$

步骤2：分析复数性质

  1. 虚部：$\cos i$的结果为实数，因此虚部$\text{Im}z = 0$；
  2. 实部：$\text{Re}z = \frac{e + e^{-1}}{2} \neq \pi$；
  3. 模长：$|z| = \left| \frac{e + e^{-1}}{2} \right| \neq 0$；
  4. 幅角：$z$为正实数，故$\arg z = 0$。

步骤3：排除错误选项

  • A：$\text{Im}z = 0$，正确；
  • B：$\text{Re}z = \pi$，错误；
  • C：$|z| = 0$，错误；
  • D：$\arg z = \pi$，错误。