题目
14.(填空题，3分)常微分方程(dy)/(dx)-2y=e^x的通解为_____.
14.(填空题，3分)常微分方程$\frac{dy}{dx}-2y=e^{x}$的通解为_____.
题目解答
答案
为了求解常微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = e^x$ 的通解，我们可以使用积分因子法。下面将分步骤进行解答。
### 步骤1：识别方程类型
给定的方程是一个一阶线性非齐次常微分方程，形式为：
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
\]
其中 $P(x) = -2$ 和 $Q(x) = e^x$。
### 步骤2：计算积分因子
积分因子 $\mu(x)$ 由下式给出：
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}
\]
代入 $P(x) = -2$，我们得到：
\[
\mu(x) = e^{\int -2 \, dx} = e^{-2x}
\]
### 步骤3：将方程乘以积分因子
将原方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = e^x$ 两边乘以 $\mu(x) = e^{-2x}$：
\[
e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{-2x}y = e^{-2x} e^x
\]
简化右边：
\[
e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{-2x}y = e^{-x}
\]
### 步骤4：将左边写成全导数形式
注意到左边可以写成 $e^{-2x}y$ 的全导数：
\[
\frac{d}{dx} \left( e^{-2x} y \right) = e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{-2x}y
\]
因此方程变为：
\[
\frac{d}{dx} \left( e^{-2x} y \right) = e^{-x}
\]
### 步骤5：积分两边
对两边关于 $x$ 积分：
\[
\int \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} y \right) \, dx = \int e^{-x} \, dx
\]
左边的积分直接得到 $e^{-2x} y$，右边的积分是：
\[
\int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。因此我们有：
\[
e^{-2x} y = -e^{-x} + C
\]
### 步骤6：解出 $y$
将两边乘以 $e^{2x}$ 来解出 $y$：
\[
y = e^{2x} \left( -e^{-x} + C \right)
\]
简化：
\[
y = -e^x + C e^{2x}
\]
### 最终答案
常微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = e^x$ 的通解为：
\[
\boxed{y = C e^{2x} - e^x}
\]
解析
考查要点：本题主要考查一阶线性非齐次常微分方程的解法，核心是积分因子法的应用。
解题思路：
- 识别方程类型：将方程整理为标准形式$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$。
- 计算积分因子：通过公式$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$确定积分因子。
- 方程变形与积分：利用积分因子将方程转化为全微分形式，再通过积分求解通解。
关键点：
- 积分因子的正确计算是破题核心。
- 方程两边乘以积分因子后，左边需准确写成全导数形式。
步骤1：整理方程为标准形式
原方程$\frac{dy}{dx} - 2y = e^x$可改写为：
$\frac{dy}{dx} + (-2)y = e^x$
其中$P(x) = -2$，$Q(x) = e^x$。
步骤2：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$
步骤3：方程两边乘以积分因子
原方程两边乘以$e^{-2x}$：
$e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{-2x} y = e^{-2x} \cdot e^x = e^{-x}$
步骤4：转化为全微分形式
左边可整理为：
$\frac{d}{dx} \left( e^{-2x} y \right) = e^{-x}$
步骤5：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} y \right) dx = \int e^{-x} dx$
得：
$e^{-2x} y = -e^{-x} + C$
步骤6：解出$y$
两边乘以$e^{2x}$：
$y = -e^{x} + C e^{2x}$