题目
已知函数z=f(xy,sin x+sin y)，f具有连续的偏导数，则(partial z)/(partial x)=(）。A. xf_1' + cos x cdot f_2'B. yf_1' + cos x cdot f_2'C. xf_1' + cos y cdot f_2'D. yf_1' + cos y cdot f_2'
已知函数$z=f(xy,\sin x+\sin y)$，$f$具有连续的偏导数，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$(）。
A. $xf_1' + \cos x \cdot f_2'$
B. $yf_1' + \cos x \cdot f_2'$
C. $xf_1' + \cos y \cdot f_2'$
D. $yf_1' + \cos y \cdot f_2'$
题目解答
答案
B. $yf_1' + \cos x \cdot f_2'$
解析
步骤 1：定义中间变量
设 $ u = xy $，$ v = \sin x + \sin y $，则 $ z = f(u, v) $。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，有： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \]
步骤 3：计算偏导数
计算得： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = \cos x \]
步骤 4：代入偏导数
代入得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot y + f_2' \cdot \cos x = yf_1' + \cos x \cdot f_2' \]
设 $ u = xy $，$ v = \sin x + \sin y $，则 $ z = f(u, v) $。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，有： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \]
步骤 3：计算偏导数
计算得： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = \cos x \]
步骤 4：代入偏导数
代入得： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot y + f_2' \cdot \cos x = yf_1' + \cos x \cdot f_2' \]