题目
练习 A,B均为三阶矩阵，满足AB+2A+B+E=0，若B=}1&2&01&2&01&2&1，则|A+E|=____.解题笔记
练习 A,B均为三阶矩阵，满足$AB+2A+B+E=0$，若$B=\begin{bmatrix}1&2&0\\1&2&0\\1&2&1\end{bmatrix}$，则|A+E|=____.
解题笔记
题目解答
答案
将方程 $AB + 2A + B + E = 0$ 重写为：
\[
A(B + 2E) + B + E = 0 \implies A(B + 2E) = -B - E.
\]
两边同时加 $B + 2E$：
\[
(A + E)(B + 2E) = E.
\]
因此，$A + E$ 是 $B + 2E$ 的逆矩阵，行列式满足：
\[
|A + E||B + 2E| = 1.
\]
计算 $B + 2E$：
\[
B + 2E = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.
\]
求行列式：
\[
|B + 2E| = 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot (12 - 0) - 2 \cdot (3 - 0) = 36 - 6 = 30.
\]
故：
\[
|A + E| = \frac{1}{|B + 2E|} = \frac{1}{30}.
\]
答案：$\boxed{\frac{1}{30}}$