已知函数 =sqrt (x), 求y`

步骤 1：定义函数
给定函数 $y = \sqrt{x}$，这是一个根号函数，定义域为 $x \geq 0$。
步骤 2：求导数
为了求导数，我们使用导数的定义，即 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中 $\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$。
步骤 3：计算导数
计算导数时，我们首先计算 $\Delta y$，然后计算 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，最后取极限。
$\Delta y = \sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}$
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$
为了简化这个表达式，我们乘以共轭表达式：
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$
$= \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$
$= \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$
$= \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$
取极限 $\Delta x \to 0$，我们得到：
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$