4.求曲线 =dfrac (t)(1+t) ,=dfrac (1+t)(t) ,=(t)^2 在对应于 _(0)=1 的点处的切线及法平面方程.

考查要点：本题主要考查参数方程表示的曲线在指定点处的切线方程和法平面方程的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定曲线在$t_0=1$处的坐标点：将$t=1$代入参数方程$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$。
2. 求曲线在该点的切线方向向量：分别对$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$关于$t$求导，得到导数向量$\left( \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt} \right)$，并在$t=1$处求值。
3. 建立切线方程：利用点向式方程，以坐标点为基准点，方向向量为切线方向。
4. 建立法平面方程：法平面的法向量即为切线方向向量，利用点法式方程求解。

破题关键点：

• 正确计算导数，尤其是$y(t)$的导数容易出错，需注意商数法则的应用。
• 方向向量的简化：可将分数形式的方向向量转化为整数形式，便于书写方程。

1. 确定坐标点

将$t=1$代入参数方程：

• $x = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$
• $y = \dfrac{1+1}{1} = 2$
• $z = 1^2 = 1$

因此，曲线在$t=1$处的坐标为$\left( \dfrac{1}{2}, 2, 1 \right)$。

2. 求切线方向向量

分别对$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$求导：

• $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{(1+t)^2}$，当$t=1$时，$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{4}$
• $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{1}{t^2}$，当$t=1$时，$\dfrac{dy}{dt} = -1$
• $\dfrac{dz}{dt} = 2t$，当$t=1$时，$\dfrac{dz}{dt} = 2$

因此，切线方向向量为$\left( \dfrac{1}{4}, -1, 2 \right)$。为简化书写，将其放大4倍得到整数形式$(1, -4, 8)$。

3. 切线方程

利用点向式方程：
$\frac{x - \dfrac{1}{2}}{1} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z - 1}{8}$

4. 法平面方程

法平面的法向量为切线方向向量$(1, -4, 8)$，代入点法式方程：
$1 \cdot \left( x - \dfrac{1}{2} \right) - 4 \cdot (y - 2) + 8 \cdot (z - 1) = 0$
展开并整理：
$x - \dfrac{1}{2} - 4y + 8 + 8z - 8 = 0 \implies x - 4y + 8z - \dfrac{1}{2} = 0$
两边乘以2消去分母：
$2x - 8y + 16z - 1 = 0$