题目
填空：((int )_(0)^1(e)^sqrt (x)dx)'=_______。
填空：
_______。
题目解答
答案
由题意得求
的值，先求积分
，令
，则
，其中
，代入可得
所以
故
.
解析
步骤 1：理解题目
题目要求我们求解$({\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx)'$的值。这里，我们注意到积分的上下限是常数，因此积分的结果是一个常数，而常数的导数为0。
步骤 2：求积分
为了求解积分${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx$，我们使用变量替换法。令$t=\sqrt {x}$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=1$时，$t=1$。因此，原积分可以写为：
$${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx = {\int }_{0}^{1}e^t \cdot 2tdt$$
步骤 3：计算积分
计算积分${\int }_{0}^{1}e^t \cdot 2tdt$，我们使用分部积分法。设$u=2t$，$dv=e^tdt$，则$du=2dt$，$v=e^t$。根据分部积分公式${\int }udv=uv-{\int }vdu$，我们有：
$${\int }_{0}^{1}e^t \cdot 2tdt = 2te^t|_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1}2e^tdt$$
$$= 2e - 2e^t|_{0}^{1}$$
$$= 2e - 2(e-1)$$
$$= 2$$
步骤 4：求导数
由于${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx$的结果是一个常数2，因此其导数为0。
题目要求我们求解$({\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx)'$的值。这里，我们注意到积分的上下限是常数，因此积分的结果是一个常数，而常数的导数为0。
步骤 2：求积分
为了求解积分${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx$，我们使用变量替换法。令$t=\sqrt {x}$，则$x=t^2$，$dx=2tdt$。当$x=0$时，$t=0$；当$x=1$时，$t=1$。因此，原积分可以写为：
$${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx = {\int }_{0}^{1}e^t \cdot 2tdt$$
步骤 3：计算积分
计算积分${\int }_{0}^{1}e^t \cdot 2tdt$，我们使用分部积分法。设$u=2t$，$dv=e^tdt$，则$du=2dt$，$v=e^t$。根据分部积分公式${\int }udv=uv-{\int }vdu$，我们有：
$${\int }_{0}^{1}e^t \cdot 2tdt = 2te^t|_{0}^{1} - {\int }_{0}^{1}2e^tdt$$
$$= 2e - 2e^t|_{0}^{1}$$
$$= 2e - 2(e-1)$$
$$= 2$$
步骤 4：求导数
由于${\int }_{0}^{1}{e}^{\sqrt {x}}dx$的结果是一个常数2，因此其导数为0。