题目
24. 如图所示 , 水平轨道 BC 与倾角为 θ=37° 的斜面轨道 AB 、螺旋状圆轨道 O 紧密平滑连接 ,AB 长度 L 1 =10m,BC 长度 L 2 =4m, 圆轨道半径 R=0.72m 。直角斜面体 MNE 的竖直边 ME 的长度 L 3 =3m, 水平边 NE 的长度 L 4 =6m,M 点在 C 点的正下方 ,MC 的长度 L 5 =1.2m 。小物块的质量为 m=1kg, 它与 AB 轨道和 BC 轨道的动摩擦因数相同 , 记为 μ, 圆轨道光滑。小物块在最高点 A 由静止释放 , 沿轨道 ABC 运动 , 第一次到达 C 时恰好静止。空气阻力不计 , 取 sin37°=0.6, cos 37°=0.8 。 D-|||-9-5-|||-B C-|||-M-|||-P-|||-E-|||-N(1)求动摩擦因数μ; (2)小物块在A点释放的同时,对其施加一个水平向右的恒力F,当物块沿BC运动到C点时撤去F,再绕圆轨道运动一周后在与C同一高度的圆轨道末端以速度v水平向右抛出。小物块在到达圆轨道末端前不脱离轨道,求v与F满足的关系式,并确定v的取值范围; (3)若物块自圆轨道末端以某一初速度水平抛出,经一段时间后与过N点的竖直墙面发生弹性碰撞,碰撞时间忽略不计,碰撞之后物块速度的竖直分量不变,水平分量反向且大小不变,之后落于斜面MN上的P点,已知物块从圆轨道末端运动到P点的总时间为t=0.9s,求小物块刚运动至P点时的动能。
24. 如图所示 , 水平轨道 BC 与倾角为 θ=37° 的斜面轨道 AB 、螺旋状圆轨道 O 紧密平滑连接 ,AB 长度 L 1 =10m,BC 长度 L 2 =4m, 圆轨道半径 R=0.72m 。直角斜面体 MNE 的竖直边 ME 的长度 L 3 =3m, 水平边 NE 的长度 L 4 =6m,M 点在 C 点的正下方 ,MC 的长度 L 5 =1.2m 。小物块的质量为 m=1kg, 它与 AB 轨道和 BC 轨道的动摩擦因数相同 , 记为 μ, 圆轨道光滑。小物块在最高点 A 由静止释放 , 沿轨道 ABC 运动 , 第一次到达 C 时恰好静止。空气阻力不计 , 取 sin37°=0.6, cos 37°=0.8 。

(1)求动摩擦因数μ;
(2)小物块在A点释放的同时,对其施加一个水平向右的恒力F,当物块沿BC运动到C点时撤去F,再绕圆轨道运动一周后在与C同一高度的圆轨道末端以速度v水平向右抛出。小物块在到达圆轨道末端前不脱离轨道,求v与F满足的关系式,并确定v的取值范围;
(3)若物块自圆轨道末端以某一初速度水平抛出,经一段时间后与过N点的竖直墙面发生弹性碰撞,碰撞时间忽略不计,碰撞之后物块速度的竖直分量不变,水平分量反向且大小不变,之后落于斜面MN上的P点,已知物块从圆轨道末端运动到P点的总时间为t=0.9s,求小物块刚运动至P点时的动能。
题目解答
答案
解析(1)从A到C的过程,由动能定理得mgL1sinθ-μmgL1cosθ-μmgL2=0
代入数据得μ=0.5。
(2)施加恒力F后,从A到C的过程,由动能定理得
F(L1cosθ+L2)+mgL1sinθ-μ(mgcos θ-Fsin θ)L1-μmgL2=mv2
代入数据得v2=30F
小物块在圆轨道最高点D不脱离轨道,应满足mg≤m
从D到C的过程由机械能守恒定律得m+2mgR=mv2
解得v≥6m/s
小物块在斜面AB上不脱离,应满足Fsinθ≤mgcos θ
解得v≤20m/s
所以v的取值范围为6m/s≤v≤20 m/s。
(3)P点与C点的高度差为h=gt2=4.05m
设物块在C点初速度为v0,
P点与竖直墙的水平距离为v0t-L4

如图,由几何关系得tan∠MNE=
已知tan∠MNE=
=,解得v0=7m/s
从C到P由动能定理得mgh=Ek-m
小物块刚运动至P点时的动能Ek=65J。
答案(1)0.5 (2)v2=30F 6m/s≤v≤20 m/s (3)65J
解析
步骤 1:计算动摩擦因数μ
小物块从A点沿轨道ABC运动到C点时恰好静止,根据能量守恒定律,重力势能的减少量等于摩擦力做的功。
步骤 2:计算v与F的关系式
小物块在A点释放的同时,对其施加一个水平向右的恒力F,当物块沿BC运动到C点时撤去F,再绕圆轨道运动一周后在与C同一高度的圆轨道末端以速度v水平向右抛出。根据动能定理,计算v与F的关系式。
步骤 3:确定v的取值范围
根据小物块在到达圆轨道末端前不脱离轨道的条件,确定v的取值范围。
步骤 4:计算小物块刚运动至P点时的动能
根据物块从圆轨道末端运动到P点的总时间t=0.9s,计算小物块刚运动至P点时的动能。
小物块从A点沿轨道ABC运动到C点时恰好静止,根据能量守恒定律,重力势能的减少量等于摩擦力做的功。
步骤 2:计算v与F的关系式
小物块在A点释放的同时,对其施加一个水平向右的恒力F,当物块沿BC运动到C点时撤去F,再绕圆轨道运动一周后在与C同一高度的圆轨道末端以速度v水平向右抛出。根据动能定理,计算v与F的关系式。
步骤 3:确定v的取值范围
根据小物块在到达圆轨道末端前不脱离轨道的条件,确定v的取值范围。
步骤 4:计算小物块刚运动至P点时的动能
根据物块从圆轨道末端运动到P点的总时间t=0.9s,计算小物块刚运动至P点时的动能。