题目
4. f(x)=3x^2+1,则f[1,2,3]=______，f[1,2,3,4]=______.
4. $f(x)=3x^{2}+1$,则f[1,2,3]=______，f[1,2,3,4]=______.
题目解答
答案
为了求解 $ f[1,2,3] $ 和 $ f[1,2,3,4] $，我们需要使用差商的定义。差商是数值分析中的一种重要概念，用于表示函数在多个点上的平均变化率。
### 一、求 $ f[1,2,3] $
首先，我们需要计算 $ f(x) = 3x^2 + 1 $ 在 $ x = 1, 2, 3 $ 处的值：
\[
f(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 4
\]
\[
f(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 13
\]
\[
f(3) = 3 \cdot 3^2 + 1 = 28
\]
二阶差商 $ f[1,2,3] $ 的定义是：
\[
f[1,2,3] = \frac{f[2,3] - f[1,2]}{3-1}
\]
其中，一阶差商 $ f[2,3] $ 和 $ f[1,2] $ 的定义是：
\[
f[2,3] = \frac{f(3) - f(2)}{3-2} = \frac{28 - 13}{1} = 15
\]
\[
f[1,2] = \frac{f(2) - f(1)}{2-1} = \frac{13 - 4}{1} = 9
\]
现在，我们可以计算二阶差商 $ f[1,2,3] $：
\[
f[1,2,3] = \frac{15 - 9}{3-1} = \frac{6}{2} = 3
\]
### 二、求 $ f[1,2,3,4] $
首先，我们需要计算 $ f(x) = 3x^2 + 1 $ 在 $ x = 4 $ 处的值：
\[
f(4) = 3 \cdot 4^2 + 1 = 49
\]
三阶差商 $ f[1,2,3,4] $ 的定义是：
\[
f[1,2,3,4] = \frac{f[2,3,4] - f[1,2,3]}{4-1}
\]
其中，二阶差商 $ f[2,3,4] $ 的定义是：
\[
f[2,3,4] = \frac{f[3,4] - f[2,3]}{4-2}
\]
一阶差商 $ f[3,4] $ 的定义是：
\[
f[3,4] = \frac{f(4) - f(3)}{4-3} = \frac{49 - 28}{1} = 21
\]
现在，我们可以计算二阶差商 $ f[2,3,4] $：
\[
f[2,3,4] = \frac{21 - 15}{4-2} = \frac{6}{2} = 3
\]
现在，我们可以计算三阶差商 $ f[1,2,3,4] $：
\[
f[1,2,3,4] = \frac{3 - 3}{4-1} = \frac{0}{3} = 0
\]
### 最终答案
\[
\boxed{3, 0}
\]
解析
步骤 1：计算 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3, 4$ 处的值
根据给定的函数 $f(x)=3x^{2}+1$，我们首先计算 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3, 4$ 处的值。
- $f(1) = 3 \cdot 1^{2} + 1 = 4$
- $f(2) = 3 \cdot 2^{2} + 1 = 13$
- $f(3) = 3 \cdot 3^{2} + 1 = 28$
- $f(4) = 3 \cdot 4^{2} + 1 = 49$
步骤 2：计算 $f[1,2,3]$
根据差商的定义，$f[1,2,3]$ 表示 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3$ 处的二阶差商。
- $f[2,3] = \frac{f(3) - f(2)}{3-2} = \frac{28 - 13}{1} = 15$
- $f[1,2] = \frac{f(2) - f(1)}{2-1} = \frac{13 - 4}{1} = 9$
- $f[1,2,3] = \frac{f[2,3] - f[1,2]}{3-1} = \frac{15 - 9}{2} = 3$
步骤 3：计算 $f[1,2,3,4]$
根据差商的定义，$f[1,2,3,4]$ 表示 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3, 4$ 处的三阶差商。
- $f[3,4] = \frac{f(4) - f(3)}{4-3} = \frac{49 - 28}{1} = 21$
- $f[2,3,4] = \frac{f[3,4] - f[2,3]}{4-2} = \frac{21 - 15}{2} = 3$
- $f[1,2,3,4] = \frac{f[2,3,4] - f[1,2,3]}{4-1} = \frac{3 - 3}{3} = 0$
根据给定的函数 $f(x)=3x^{2}+1$，我们首先计算 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3, 4$ 处的值。
- $f(1) = 3 \cdot 1^{2} + 1 = 4$
- $f(2) = 3 \cdot 2^{2} + 1 = 13$
- $f(3) = 3 \cdot 3^{2} + 1 = 28$
- $f(4) = 3 \cdot 4^{2} + 1 = 49$
步骤 2：计算 $f[1,2,3]$
根据差商的定义，$f[1,2,3]$ 表示 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3$ 处的二阶差商。
- $f[2,3] = \frac{f(3) - f(2)}{3-2} = \frac{28 - 13}{1} = 15$
- $f[1,2] = \frac{f(2) - f(1)}{2-1} = \frac{13 - 4}{1} = 9$
- $f[1,2,3] = \frac{f[2,3] - f[1,2]}{3-1} = \frac{15 - 9}{2} = 3$
步骤 3：计算 $f[1,2,3,4]$
根据差商的定义，$f[1,2,3,4]$ 表示 $f(x)$ 在 $x=1, 2, 3, 4$ 处的三阶差商。
- $f[3,4] = \frac{f(4) - f(3)}{4-3} = \frac{49 - 28}{1} = 21$
- $f[2,3,4] = \frac{f[3,4] - f[2,3]}{4-2} = \frac{21 - 15}{2} = 3$
- $f[1,2,3,4] = \frac{f[2,3,4] - f[1,2,3]}{4-1} = \frac{3 - 3}{3} = 0$