题目

设 f(x) = (1)/(x^2) | a - (x)/(2) + e^x + x ln (1 + x^2) + (b + cos x) sin x |, 若 x=0 为 f(x) 的可去间断点，求 a, b 的值.

设 $f(x) = \frac{1}{x^2} \left| a - \frac{x}{2} + e^x + x \ln (1 + x^2) + (b + \cos x) \sin x \right|$, 若 $x=0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的值.

题目解答

答案

我们来解决这个题目： --- ### 题目重述： 设函数 $$ f(x) = \frac{1}{x^2} \left| a - \frac{x}{2} + e^x + x \ln (1 + x^2) + (b + \cos x) \sin x \right| $$ 若 $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的**可去间断点**，求 $ a, b $ 的值。 --- ### 一、理解“可去间断点”的含义： 一个函数在某点是可去间断点，意味着： - 该点处函数无定义（或定义不连续）； - 但在该点的极限存在； - 通过重新定义该点处的函数值，可以使函数在该点连续。 因此，我们要保证： $$ \lim_{x \to 0} f(x) $$ 存在（即极限有限），从而使得 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处是可去间断点。 --- ### 二、分析函数结构： 我们设： $$ g(x) = a - \frac{x}{2} + e^x + x \ln(1 + x^2) + (b + \cos x) \sin x $$ 那么： $$ f(x) = \frac{1}{x^2} |g(x)| $$ 我们希望 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 处是可去间断点，即： $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} |g(x)| $$ 存在且有限。 所以，我们要求： $$ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} $$ 存在且有限。 --- ### 三、对 $ g(x) $ 进行泰勒展开（在 $ x = 0 $ 附近）： 我们逐项展开 $ g(x) $ 的各部分： #### 1. $ e^x $ 的泰勒展开： $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots $$ #### 2. $ \ln(1 + x^2) $ 的泰勒展开： $$ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots $$ 所以： $$ x \ln(1 + x^2) = x^3 - \frac{x^5}{2} + \cdots $$ #### 3. $ \sin x $ 的泰勒展开： $$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots $$ #### 4. $ \cos x $ 的泰勒展开： $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots $$ --- ### 四、代入并合并各项： 我们来写 $ g(x) $ 的展开式： $$ g(x) = a - \frac{x}{2} + \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots \right) + \left(x^3 + \cdots \right) + (b + \cos x) \sin x $$ 我们先处理最后一项： $$ (b + \cos x)\sin x = (b + 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots)(x - \frac{x^3}{6} + \cdots) $$ 我们只保留到 $ x^3 $ 项： $$ = (b + 1 - \frac{x^2}{2})(x - \frac{x^3}{6}) = (b + 1)x - \frac{(b + 1)x^3}{6} - \frac{x^3}{2} + \cdots $$ 所以合并后： $$ g(x) = a - \frac{x}{2} + 1 + x + \frac{x^2}{2} + x^3 + (b + 1)x - \frac{(b + 1)x^3}{6} - \frac{x^3}{2} + \cdots $$ 我们按幂次合并： #### 常数项： $$ a + 1 $$ #### 一次项： $$ - \frac{x}{2} + x + (b + 1)x = \left(1 - \frac{1}{2} + b + 1\right)x = \left(b + \frac{3}{2}\right)x $$ #### 二次项： $$ \frac{x^2}{2} $$ #### 三次项： $$ x^3 - \frac{(b + 1)x^3}{6} - \frac{x^3}{2} = \left(1 - \frac{b + 1}{6} - \frac{1}{2} \right)x^3 = \left( \frac{6 - (b + 1) - 3}{6} \right)x^3 = \left( \frac{2 - b}{6} \right)x^3 $$ --- ### 五、整理 $ g(x) $ 的展开式： $$ g(x) = (a + 1) + \left(b + \frac{3}{2} \right)x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{2 - b}{6}x^3 + \cdots $$ 我们要求： $$ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \left( a + 1 + \left(b + \frac{3}{2} \right)x + \frac{1}{2}x^2 + \cdots \right) $$ 要使极限存在且有限，必须满足： - 常数项为 0（否则极限为无穷）； - 一次项为 0（否则极限为无穷）； - 二次项系数就是极限值。 所以： 1. $ a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1 $ 2. $ b + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow b = -\frac{3}{2} $ --- ### 六、验证： 代入 $ a = -1, b = -\frac{3}{2} $，我们有： $$ g(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 + \left( \frac{2 - (-\frac{3}{2})}{6} \right)x^3 + \cdots = \frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{12}x^3 + \cdots $$ 所以： $$ f(x) = \frac{1}{x^2} |g(x)| = \frac{1}{x^2} \left| \frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{12}x^3 + \cdots \right| = \left| \frac{1}{2} + \frac{7}{12}x + \cdots \right| $$ 当 $ x \to 0 $，极限为 $ \frac{1}{2} $，有限，满足题意。 --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{a = -1,\quad b = -\frac{3}{2}} $$

解析

关键思路：
题目要求 $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点，即 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在且有限。由于 $f(x) = \frac{1}{x^2} |g(x)|$，需保证 $g(x)$ 在 $x=0$ 附近展开后，常数项和一次项系数为零，且二次项系数非零，使得 $\frac{g(x)}{x^2}$ 的极限存在。

核心步骤：

  1. 泰勒展开：将 $g(x)$ 中的各函数项（如 $e^x$、$\ln(1+x^2)$、$\sin x$、$\cos x$）展开到足够阶数；
  2. 合并同类项：整理常数项、一次项、二次项的系数；
  3. 解方程：令常数项和一次项系数为零，解出 $a$ 和 $b$。

设 $g(x) = a - \frac{x}{2} + e^x + x \ln(1+x^2) + (b + \cos x)\sin x$，则 $f(x) = \frac{1}{x^2} |g(x)|$。为使 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，需 $g(x)$ 在 $x=0$ 附近展开后满足：

1. 泰勒展开各部分

  • $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$
  • $\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots \Rightarrow x \ln(1+x^2) = x^3 + \cdots$
  • $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
  • $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$

2. 展开并合并 $g(x)$

将各展开式代入 $g(x)$：
$\begin{aligned}g(x) &= a - \frac{x}{2} + \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots \right) + x^3 + \cdots \\&\quad + \left( b + 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots \right)\left( x - \frac{x^3}{6} + \cdots \right) \\&= a + 1 + \left( -\frac{1}{2} + 1 + b + 1 \right)x + \frac{1}{2}x^2 + \cdots \\&\quad + \left( 1 - \frac{b+1}{6} - \frac{1}{2} \right)x^3 + \cdots\end{aligned}$

3. 整理系数

  • 常数项：$a + 1 = 0 \Rightarrow a = -1$
  • 一次项：$b + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}$
  • 二次项：$\frac{1}{2}x^2$（非零，保证极限存在）