题目

填空题（共5题，25.0分）11.（5.0分）4阶行列式}1&3&-1&30&-1&2&-32&1&5&-5-1&-1&3&5=____.

填空题（共5题，25.0分） 11.（5.0分） 4阶行列式$\begin{vmatrix}1&3&-1&3\\0&-1&2&-3\\2&1&5&-5\\-1&-1&3&5\end{vmatrix}$=____.

题目解答

答案

将原行列式记为 $ D $，其值为：
$D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 5 & -5 \\ -1 & -1 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
通过行变换简化，先将第3行减去第1行的2倍，第4行加上第1行，得到：
$D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & -5 & 7 & -11 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{vmatrix}$
沿第1列展开，得：
$D = 1 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 & -3 \\ -5 & 7 & -11 \\ 2 & 2 & 8 \end{vmatrix}$
计算3阶行列式：
$\begin{vmatrix} -1 & 2 & -3 \\ -5 & 7 & -11 \\ 2 & 2 & 8 \end{vmatrix} = -1 \times (7 \times 8 - (-11) \times 2) - 2 \times((-5) \times 8 - (-11) \times 2) + (-3) \times((-5) \times 2 - 7 \times 2)$
$= -1 \times (56 + 22) - 2 \times (-40 + 22) + (-3) \times (-10 - 14)$
$= -78 + 36 + 72 = 30$
因此，$ D = 1 \times 30 = 30 $。

答案： $\boxed{30}$

解析

本题考查四阶行列式的计算，核心思路是通过行变换将行列式化简为上三角形式，再展开计算。关键在于：

  1. 利用行变换消去第一列下方元素，使展开更简便；
  2. 沿第一列展开，转化为三阶行列式；
  3. 按行展开法计算三阶行列式，注意符号和余子式的计算。

步骤1：行变换化简

  • 第3行减去第1行的2倍：
    原第3行：$[2,1,5,-5]$
    减去$2 \times$第1行：$2-2=0$，$1-6=-5$，$5-(-2)=7$，$-5-6=-11$
    新第3行：$[0,-5,7,-11]$

  • 第4行加上第1行：
    原第4行：$[-1,-1,3,5]$
    加上第1行：$-1+1=0$，$-1+3=2$，$3+(-1)=2$，$5+3=8$
    新第4行：$[0,2,2,8]$

化简后的行列式为：
$\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 3 \\0 & -1 & 2 & -3 \\0 & -5 & 7 & -11 \\0 & 2 & 2 & 8\end{vmatrix}$

步骤2：沿第一列展开

第一列仅第1行元素为1，展开后得：
$D = 1 \times \begin{vmatrix}-1 & 2 & -3 \\-5 & 7 & -11 \\2 & 2 & 8\end{vmatrix}$

步骤3：计算三阶行列式

按第一行展开：
$\begin{aligned}& (-1) \cdot \begin{vmatrix}7 & -11 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}-5 & -11 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} + (-3) \cdot \begin{vmatrix}-5 & 7 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \\ &= (-1)(7 \cdot 8 - (-11) \cdot 2) - 2((-5) \cdot 8 - (-11) \cdot 2) + (-3)((-5) \cdot 2 - 7 \cdot 2) \\ &= (-1)(56 + 22) - 2(-40 + 22) + (-3)(-10 - 14) \\ &= -78 + 36 + 72 = 30 \end{aligned}$

步骤4：最终结果

$D = 1 \times 30 = 30$