题目
设f(x)在 (-infty ,+infty ) 内连续,下述4个命题-|||-①对任意正常数a, (int )_(-a)^af(x)dx=0Leftrightarrow f(x) 为奇函数.-|||-②对任意正常数a, (int )_(-a)^af(x)dx=2(int )_(0)^af(x)dxLeftrightarrow f(x) 为偶函数.-|||-③对任意正常数a及常数 omega gt 0, (int )_(a)^a+cf(x)dx 与a无关=f(x )有周期w.-|||-④|f(t)dt对x有周期 omega in (int )_(0)^alpha f(t)dt=0.-|||-正确的命题个数为-|||-(A)4个. (B)3个. (C)2个. (D)1个.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析命题①
对任意正常数a，若 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$，则对a求导，得到 $f(a)-f(-a)=0$，即 $f(a)=f(-a)$，这说明f(x)为奇函数。反之，若f(x)为奇函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$。因此，命题①正确。
步骤 2：分析命题②
对任意正常数a，若 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_{0}^{a}f(x)dx$，则对a求导，得到 $f(a)+f(-a)=2f(a)$，即 $f(-a)=f(a)$，这说明f(x)为偶函数。反之，若f(x)为偶函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_{0}^{a}f(x)dx$。因此，命题②正确。
步骤 3：分析命题③
对任意正常数a及常数 $\omega \gt 0$，若 ${\int }_{a}^{a+\omega }f(x)dx$ 与a无关，则对a求导，得到 $f(a+\omega )-f(a)=0$，即 $f(a+\omega )=f(a)$，这说明f(x)有周期w。反之，若f(x)有周期w，则 ${\int }_{a}^{a+\omega }f(x)dx$ 与a无关。因此，命题③正确。
步骤 4：分析命题④
若 ${\int }_{0}^{\omega }f(t)dt=0$，则不一定能推出 ${\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 对x有周期 $\omega$。例如，取 $f(x)=x-1$，则 ${\int }_{0}^{2}(x-1)dx=0$，但 ${\int }_{0}^{x}(t-1)dt$ 并不是周期函数。因此，命题④不正确。
对任意正常数a，若 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$，则对a求导，得到 $f(a)-f(-a)=0$，即 $f(a)=f(-a)$，这说明f(x)为奇函数。反之，若f(x)为奇函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$。因此，命题①正确。
步骤 2：分析命题②
对任意正常数a，若 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_{0}^{a}f(x)dx$，则对a求导，得到 $f(a)+f(-a)=2f(a)$，即 $f(-a)=f(a)$，这说明f(x)为偶函数。反之，若f(x)为偶函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_{0}^{a}f(x)dx$。因此，命题②正确。
步骤 3：分析命题③
对任意正常数a及常数 $\omega \gt 0$，若 ${\int }_{a}^{a+\omega }f(x)dx$ 与a无关，则对a求导，得到 $f(a+\omega )-f(a)=0$，即 $f(a+\omega )=f(a)$，这说明f(x)有周期w。反之，若f(x)有周期w，则 ${\int }_{a}^{a+\omega }f(x)dx$ 与a无关。因此，命题③正确。
步骤 4：分析命题④
若 ${\int }_{0}^{\omega }f(t)dt=0$，则不一定能推出 ${\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 对x有周期 $\omega$。例如，取 $f(x)=x-1$，则 ${\int }_{0}^{2}(x-1)dx=0$，但 ${\int }_{0}^{x}(t-1)dt$ 并不是周期函数。因此，命题④不正确。