题目
6.填空题（10分）如果x,y在z的条件下相互独立，则(P(x,y|z)=____。
6.填空题（10分）
如果x,y在z的条件下相互独立，则(P(x,y|z)=____。
题目解答
答案
要确定给定 $x$ 和 $y$ 在 $z$ 的条件下相互独立时 $P(x, y | z)$ 的值，我们需要理解条件独立的定义。如果 $x$ 和 $y$ 在 $z$ 的条件下相互独立，那么在给定 $z$ 的情况下，$x$ 和 $y$ 的联合概率等于它们的条件概率的乘积。数学上，这可以表示为：
\[ P(x, y | z) = P(x | z) \cdot P(y | z) \]
让我们逐步分解：
1. $P(x, y | z)$ 是在给定 $z$ 的情况下 $x$ 和 $y$ 的联合概率。
2. $P(x | z)$ 是在给定 $z$ 的情况下 $x$ 的条件概率。
3. $P(y | z)$ 是在给定 $z$ 的情况下 $y$ 的条件概率。
由于 $x$ 和 $y$ 在 $z$ 的条件下相互独立，我们可以将联合概率 $P(x, y | z)$ 写作条件概率 $P(x | z)$ 和 $P(y | z)$ 的乘积。
因此，答案是：
\[
\boxed{P(x|z)P(y|z)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查条件独立性的概念及其在概率计算中的应用。
解题核心：理解条件独立的定义，即当两个事件在给定条件下相互独立时，它们的联合概率等于各自条件概率的乘积。
关键点：明确条件独立的数学表达形式，即 $P(x, y | z) = P(x | z) \cdot P(y | z)$。
条件独立的定义：
若 $x$ 和 $y$ 在给定 $z$ 的条件下相互独立，则在已知 $z$ 的情况下，$x$ 的发生与否与 $y$ 的发生与否互不影响。此时，它们的联合概率可以分解为各自条件概率的乘积。
推导过程：
- 联合概率的定义：
$P(x, y | z)$ 表示在 $z$ 的条件下，$x$ 和 $y$ 同时发生的概率。 - 条件独立的性质：
根据条件独立性，$x$ 和 $y$ 的依赖关系完全由 $z$ 决定。因此，$x$ 的发生概率仅受 $z$ 影响，与 $y$ 无关，同理 $y$ 的概率也仅受 $z$ 影响。 - 分解联合概率：
结合上述性质，可得：
$P(x, y | z) = P(x | z) \cdot P(y | z)$