求下列极限：lim _(xarrow 1)(dfrac (3)(1-{x)^3}-dfrac (1)(1-x))-|||-__

考查要点：本题主要考查分式极限的求解方法，涉及因式分解、通分、约分等代数技巧，以及极限的基本计算。

解题核心思路：

1. 因式分解：利用立方差公式分解分母$1 - x^3$，将其转化为$(1 - x)(1 + x + x^2)$，便于后续通分。
2. 通分与化简：将两个分式通分后合并，通过分子因式分解约去公因式$(1 - x)$，简化表达式。
3. 代入求值：约分后直接代入$x = 1$计算极限。

破题关键点：

• 正确分解分母：立方差公式的应用是关键，避免直接展开导致复杂计算。
• 分子因式分解：将分子$2 - x - x^2$分解为$-(x+2)(x-1)$，与分母约分后简化表达式。

步骤1：因式分解分母
利用立方差公式分解$1 - x^3$：
$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$
原式变为：
$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac{3}{(1 - x)(1 + x + x^2)} - \dfrac{1}{1 - x}\right)$

步骤2：通分合并分式
将第二个分式$\dfrac{1}{1 - x}$通分到分母$(1 - x)(1 + x + x^2)$：
$\dfrac{1}{1 - x} = \dfrac{1 + x + x^2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}$
合并两个分式：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 1} & \dfrac{3 - (1 + x + x^2)}{(1 - x)(1 + x + x^2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 1} \dfrac{2 - x - x^2}{(1 - x)(1 + x + x^2)}\end{aligned}$

步骤3：分子因式分解与约分
将分子$2 - x - x^2$分解为$-(x+2)(x-1)$，分母分解为$-(x-1)(1 + x + x^2)$：
$\begin{aligned}\dfrac{2 - x - x^2}{(1 - x)(1 + x + x^2)} &= \dfrac{-(x+2)(x-1)}{-(x-1)(1 + x + x^2)} \\&= \dfrac{x+2}{1 + x + x^2}\end{aligned}$

步骤4：代入求极限
约分后直接代入$x = 1$：
$\lim _{x\rightarrow 1} \dfrac{x+2}{1 + x + x^2} = \dfrac{1 + 2}{1 + 1 + 1} = 1$