(5) ''=y'+x .

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程的解法，涉及齐次方程通解的求解和特解的构造方法。

解题核心思路：

1. 先解对应的齐次方程 $y'' - y' = 0$，通过特征方程法求通解；
2. 构造非齐次方程的特解，根据非齐次项 $x$ 的形式假设特解形式；
3. 综合齐次通解与特解，得到原方程的通解。

破题关键点：

• 特征方程的求解与根的判断；
• 待定系数法中特解形式的合理假设；
• 代入验证特解时的系数计算。

步骤1：求齐次方程的通解

对应的齐次方程为：
$y'' - y' = 0$
特征方程为：
$r^2 - r = 0 \quad \Rightarrow \quad r(r-1) = 0$
解得根 $r_1 = 0$，$r_2 = 1$，因此齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{1 \cdot x} = C_1 + C_2 e^x$

步骤2：求非齐次方程的特解

非齐次项为 $x$（多项式），假设特解形式为：
$y_p = ax + b$
计算一阶、二阶导数：
$y_p' = a, \quad y_p'' = 0$
代入原方程 $y'' = y' + x$：
$0 = a + x \quad \Rightarrow \quad a + x = 0$
比较系数得：
$\begin{cases}a = 0 \\1 = 0 \quad (\text{矛盾})\end{cases}$
说明假设形式错误，需修正特解形式为：
$y_p = ax + b \quad \Rightarrow \quad \text{但需重新代入计算}$
（注：实际计算中，由于齐次解中已含常数项，需将特解形式改为 $y_p = ax + b$，但此处需重新代入验证）

正确代入过程：
将 $y_p = ax + b$ 代入原方程：
$0 = a + x \quad \Rightarrow \quad a = -1, \quad 0 = x \quad (\text{矛盾})$
实际应调整特解形式为二次多项式：
$y_p = ax^2 + bx$
计算导数：
$y_p' = 2ax + b, \quad y_p'' = 2a$
代入原方程：
$2a = 2ax + b + x \quad \Rightarrow \quad 2a = (2a + 1)x + b$
比较系数得：
$\begin{cases}2a + 1 = 0 \\b = 2a\end{cases}$
解得：
$a = -\dfrac{1}{2}, \quad b = -1$
因此特解为：
$y_p = -\dfrac{1}{2}x^2 - x$

步骤3：写出通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^x - \dfrac{1}{2}x^2 - x$