题目

17.(填空题) 设α_(1)=(2,-1,0,5),α_(2)=(-4,-2,3,0),α_(3)=(-1,0,1,k),α_(4)=(-1,0,0,1),则k=____时，向量组α_(1),α_(2),α_(3),α_(4)线性相关。

17.(填空题) 设$α_{1}=(2,-1,0,5),α_{2}=(-4,-2,3,0),α_{3}=(-1,0,1,k),α_{4}=(-1,0,0,1)$, 则k=____时，向量组$α_{1},α_{2},α_{3},α_{4}$线性相关。

题目解答

答案

将向量按列构成矩阵 $ A $，计算其行列式。
按第二行展开得：
$\det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & k & 1 \end{vmatrix}$
计算得：
$\det(A) = -1 \cdot (-1 - 3k) - 2 \cdot 7 = -15 - 3k$
令 $\det(A) = 0$，解得：
$k = -5$
答案： $\boxed{-5}$

解析

本题考查向量向量组线性相关的知识，解题思路是通过将向量按列构成矩阵，计算该矩阵的行列式，令行列式的值为$0$，从而求解出$k$的值。
下面进行详细的计算：

  1. 按第二行展开行列式$\det(A)$：
    $\det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & k & 1 \end{vmatrix}$
  2. 计算$\begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix}$的值：
    $\begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ & k & 1 \end{vmatrix} = -1 - 3k$
  3. 计算$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & k & 1 \end{vmatrix}$的值为$7$。
  4. 得到$\det(A) = -1 \cdot (-1 - 3k) - 2 \cdot 7 = -15 - 3k$。
  5. 令$\det(A) = 0$，即$-15 - 3k = 0$，解得$k = -5$。

本题考查向量组线性相关的知识，解题思路是通过将向量按列构成矩阵，计算该矩阵的行列式，令该行列式的值为$0$，从而求解出$k$的值。
下面进行详细的计算：

  1. 按第二行展开行列式$\det(A)$：
    $\det(A) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & k & 1 \end{vmatrix}$
  2. 计算$\begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix}$的值：
    $\begin{vmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} = -1 - 3k$
  3. 计算$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 5 & k & 1 \end{vmatrix}$的值为$7$。
  4. 得到$\det(A) = -1 \cdot (-1 - 3k) - 2 \cdot 7 = -15 - 3k$。
  5. 令$\det(A) = 0$，即$-15 - 3k = 0$，解得$k = -5$。