题目

【例】求极限lim_(ntoinfty)((1)/(n+1)+(1)/(n+sqrt(2))+...+(1)/(n+sqrt(n)))。

【例】求极限$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$。

题目解答

答案

设 $ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + \sqrt{k}} $。
对于 $ 1 \leq k \leq n $，有 $ \frac{1}{n + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{n + \sqrt{k}} \leq \frac{1}{n + 1} $。
求和得：
$\frac{n}{n + \sqrt{n}} \leq S_n \leq \frac{n}{n + 1}.$
当 $ n \to \infty $ 时，
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} = 1,$
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1.$
由夹逼准则，
$\lim_{n \to \infty} S_n = 1.$
答案： $\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理和式极限的能力。

解题核心思路：

  1. 观察和式结构：每一项的分母为$n + \sqrt{k}$，其中$k$从$1$到$n$变化。
  2. 确定项的范围：通过比较$\sqrt{k}$的最小值和最大值，找到每一项的上下界。
  3. 求和并取极限：将和式的上下界分别求和，再利用夹逼定理求极限。

破题关键点：

  • 找到每一项的上下界：$\frac{1}{n+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n+\sqrt{k}} \leq \frac{1}{n+1}$。
  • 求和后化简：将不等式两边分别求和，得到关于$n$的表达式。
  • 极限运算：对化简后的表达式取极限，验证上下界极限相同，从而应用夹逼定理。

设$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + \sqrt{k}}$，分析如下：

步骤1：确定单个项的范围

对于$1 \leq k \leq n$，$\sqrt{k}$的最小值为$\sqrt{1} = 1$，最大值为$\sqrt{n}$。因此：
$\frac{1}{n + \sqrt{n}} \leq \frac{1}{n + \sqrt{k}} \leq \frac{1}{n + 1}.$

步骤2：对所有项求和

将不等式两边从$k=1$到$k=n$求和：
$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n + \sqrt{n}} \leq S_n \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n + 1}.$
即：
$\frac{n}{n + \sqrt{n}} \leq S_n \leq \frac{n}{n + 1}.$

步骤3：计算上下界的极限

  • 下界：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} = 1.$
  • 上界：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1.$

步骤4：应用夹逼定理

由于上下界的极限均为$1$，根据夹逼定理，原极限为：
$\lim_{n \to \infty} S_n = 1.$