题目

9.（填空题，4.0分）已知随机变量X的分布函数为F(x)=(a+be^x)/(1+2e^x)，其中a，b是常数，则F(0)=____.（请用最简分数作答，如1/3）

9.（填空题，4.0分） 已知随机变量X的分布函数为$F(x)=\frac{a+be^{x}}{1+2e^{x}}$，其中a，b是常数，则F(0)=____.（请用最简分数作答，如1/3）

题目解答

答案

为了确定给定分布函数 $ F(x) = \frac{a + be^x}{1 + 2e^x} $ 的 $ F(0) $ 的值，我们首先需要找到常数 $ a $ 和 $ b $ 的值。分布函数 $ F(x) $ 必须满足以下性质： 1. $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $ 2. $ \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 $ 让我们从第一个性质开始。当 $ x \to -\infty $，$ e^x \to 0 $。因此， \[ \lim_{x \to -\infty} F(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{a + be^x}{1 + 2e^x} = \frac{a + 0}{1 + 0} = a. \] 由于 $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $，我们有 $ a = 0 $。 接下来，让我们使用第二个性质。当 $ x \to \infty $，$ e^x \to \infty $。因此，我们可以将分子和分母都除以 $ e^x $： \[ \lim_{x \to \infty} F(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{a + be^x}{1 + 2e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{e^x} + b}{\frac{1}{e^x} + 2} = \frac{0 + b}{0 + 2} = \frac{b}{2}. \] 由于 $ \lim_{x \to \infty} F(x) = 1 $，我们有 $ \frac{b}{2} = 1 $，所以 $ b = 2 $。 现在我们已经确定了 $ a = 0 $ 和 $ b = 2 $，分布函数变为 \[ F(x) = \frac{0 + 2e^x}{1 + 2e^x} = \frac{2e^x}{1 + 2e^x}. \] 我们需要找到 $ F(0) $： \[ F(0) = \frac{2e^0}{1 + 2e^0} = \frac{2 \cdot 1}{1 + 2 \cdot 1} = \frac{2}{3}. \] 因此，$ F(0) $ 的值是 $\boxed{\frac{2}{3}}$。

解析

本题考查随机变量变量分布函数的性质以及利用这些性质求解分布函数中的常数，进而计算特定点的函数值。解题思路如下：

  1. 利用分布函数的性质$\lim_{x \to -\infty} F(x)x) = 0$来确定常数$a$的值。
    • 当$x \to -\infty$时，$e^x \to 0$。
    • 根据极限运算法则，$\lim_{x \to -\infty} F(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{a + be^x}{1 + 2e^x}$，将$e^x$替换为$0$，可得$\lim_{x \to -\infty} \frac{a + be^x}{1 + 2e^x}=\frac{a + 0}{1 + 0}=a$。
    • 因为$\(\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，所以$a = 0$。
  2. 利用分布函数的性质$\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$来确定常数$b$的值。
    • 当$x \to \infty$时，$e^x \to \infty$。
    • 为了方便计算极限，将分子分母同时除以$e^x$，则$\lim_{x \to \infty} F(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{a + be^x}{1 + 2e^x}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{e^x} + b}{\frac{1}{e^x} + 2}$。
    • 当$x \to \infty$时，$\frac{a}{e^x} \to 0$，$\frac{1}{e^x} \to 0$，所以$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{e^x} + b}{\frac{1}{e^x} + 2}=\frac{0 + b}{0 + 2}=\frac{b}{2}$。
    • 因为$\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$，所以$\frac{b}{2}=1$，解得$b = 2$。
  3. 得到$a$和$b$的值后，确定分布函数的具体形式，进而计算$F(0)$的值。
    • 把$\(a = 0$，$b = 2$代入分布函数$F(x)=\frac{a + be^x}{1 + 2e^x}$，可得$F)(x)=\frac{0 + 2e^x}{1 + 2e^x}=\frac{2e^x}{1 + 2e^x}$。
    • 计算$F(0)$，将$x = 0$代入$F(x)=\frac{2e^x}{1 + 2e^x}$，因为$e^0 = 1$，所以$F(0)=\frac{2e^0}{1 + 2e^0}=\frac{2\times1}{1 + 2\times1}=\frac{2}{3}$。