6.3.16 一质量为0.1kg的物体做振幅为0.01 m的简谐振动,最大加速度为 .04mcdot (s)^-2 试求:①振动-|||-的周期;②总的振动能量;③物体在何处时振动动能和势能相等?

考查要点：本题主要考查简谐振动的基本性质，包括周期计算、振动能量以及动能与势能相等的位置。
解题思路：

1. 周期计算：利用最大加速度公式 $a_{\text{max}} = \omega^2 A$ 求出角频率 $\omega$，再通过周期公式 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ 得出结果。
2. 总能量：简谐振动的总能量公式为 $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$，直接代入已知量计算。
3. 动能与势能相等的位置：根据能量守恒，当动能等于势能时，物体位移为 $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$。

① 振动的周期

关键公式：最大加速度 $a_{\text{max}} = \omega^2 A$，周期 $T = \frac{2\pi}{\omega}$。

1. 由 $a_{\text{max}} = \omega^2 A$ 得 $\omega^2 = \frac{a_{\text{max}}}{A} = \frac{0.04}{0.01} = 4$，故 $\omega = 2 \, \text{rad/s}$。
2. 代入周期公式得 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi \, \text{s} \approx 3.14 \, \text{s}$。

② 总的振动能量

关键公式：总能量 $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$。

1. 已知 $\omega^2 = 4$，代入公式得：
   $E = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot 4 \cdot (0.01)^2 = 0.05 \cdot 4 \cdot 0.0001 = 2.0 \times 10^{-5} \, \text{J}.$

③ 动能与势能相等的位置

关键关系：当动能等于势能时，$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$。

1. 代入振幅 $A = 0.01 \, \text{m}$ 得：
   $x = \frac{0.01}{\sqrt{2}} \approx 0.01 \cdot 0.707 = 7.07 \times 10^{-3} \, \text{m}.$