计算函数极限：lim _(xarrow 0)((1+2sin x))^dfrac (1{2x)}

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换和重要极限公式求解函数极限的能力。

解题核心思路：

1. 识别重要极限形式：当底数为$(1 + \text{某项})$且指数为$\dfrac{1}{\text{该某项}}$时，极限值为$e$。
2. 调整指数结构：通过等价无穷小替换$\sin x \sim x$，将原式变形为重要极限的形式，并处理指数中的差异部分。

破题关键点：

• 等价无穷小替换：将$\sin x$替换为$x$，简化底数中的表达式。
• 指数拆分：将原指数$\dfrac{1}{2x}$拆分为$\dfrac{1}{2\sin x} \cdot \dfrac{\sin x}{x}$，从而分离出重要极限的结构。

步骤1：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，因此原式可近似为：
$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\dfrac{1}{2x}}.$

步骤2：应用重要极限公式
根据重要极限公式$\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\dfrac{1}{t}} = e$，令$t = 2x$，则当$x \to 0$时，$t \to 0$，因此：
$\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\dfrac{1}{2x}} = e.$

步骤3：处理原式中的实际结构
原式中的底数为$(1 + 2\sin x)$，指数为$\dfrac{1}{2x}$。通过拆分指数：
$\lim_{x \to 0} (1 + 2\sin x)^{\dfrac{1}{2x}} = \lim_{x \to 0} \left[(1 + 2\sin x)^{\dfrac{1}{2\sin x}}\right]^{\dfrac{\sin x}{x}}.$

步骤4：分别求极限

• 内层极限$\lim_{x \to 0} (1 + 2\sin x)^{\dfrac{1}{2\sin x}} = e$（重要极限）。
• 外层指数$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$（等价无穷小替换）。
  因此，整体极限为：
  $e^1 = e.$