题目
若 =(A)_(1)^1+(A)_(2)^2+(A)_(3)^3+... +(A)_(100)^100 ,则S的个位数字是( ) A.8 B.5 C.3 D.0
若 
,则S的个位数字是( )
A.8 B.5 C.3 D.0
题目解答
答案
C. 3
解析
步骤 1：理解排列数的定义
排列数 ${A}_{n}^{n}$ 表示从n个不同元素中取出n个元素的排列数，即 ${A}_{n}^{n} = n!$，其中n!表示n的阶乘，即 $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$。
步骤 2：计算前几个排列数的个位数字
- ${A}_{1}^{1} = 1! = 1$，个位数字为1。
- ${A}_{2}^{2} = 2! = 2$，个位数字为2。
- ${A}_{3}^{3} = 3! = 6$，个位数字为6。
- ${A}_{4}^{4} = 4! = 24$，个位数字为4。
- ${A}_{5}^{5} = 5! = 120$，个位数字为0。
- 从${A}_{5}^{5}$开始，由于阶乘中包含因子5和2，所以${A}_{n}^{n}$的个位数字为0，对于所有$n \geq 5$。
步骤 3：计算S的个位数字
- 由于${A}_{n}^{n}$的个位数字从${A}_{5}^{5}$开始为0，所以${A}_{5}^{5} + {A}_{6}^{6} + \cdots + {A}_{100}^{100}$的个位数字为0。
- 因此，S的个位数字由${A}_{1}^{1} + {A}_{2}^{2} + {A}_{3}^{3} + {A}_{4}^{4}$决定，即$1 + 2 + 6 + 4 = 13$，个位数字为3。
排列数 ${A}_{n}^{n}$ 表示从n个不同元素中取出n个元素的排列数，即 ${A}_{n}^{n} = n!$，其中n!表示n的阶乘，即 $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$。
步骤 2：计算前几个排列数的个位数字
- ${A}_{1}^{1} = 1! = 1$，个位数字为1。
- ${A}_{2}^{2} = 2! = 2$，个位数字为2。
- ${A}_{3}^{3} = 3! = 6$，个位数字为6。
- ${A}_{4}^{4} = 4! = 24$，个位数字为4。
- ${A}_{5}^{5} = 5! = 120$，个位数字为0。
- 从${A}_{5}^{5}$开始，由于阶乘中包含因子5和2，所以${A}_{n}^{n}$的个位数字为0，对于所有$n \geq 5$。
步骤 3：计算S的个位数字
- 由于${A}_{n}^{n}$的个位数字从${A}_{5}^{5}$开始为0，所以${A}_{5}^{5} + {A}_{6}^{6} + \cdots + {A}_{100}^{100}$的个位数字为0。
- 因此，S的个位数字由${A}_{1}^{1} + {A}_{2}^{2} + {A}_{3}^{3} + {A}_{4}^{4}$决定，即$1 + 2 + 6 + 4 = 13$，个位数字为3。