题目

【11】lim_(xto0)(ln(1+x+x^2)+ln(1-x+x^2))/(sec x-cos x)=_.

【11】$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x+x^{2})+\ln(1-x+x^{2})}{\sec x-\cos x}=\_.$

题目解答

答案

将分子利用对数性质合并： \[ \ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2) = \ln(1+x^2+x^4) \] 分母使用恒等式 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$： \[ \sec x - \cos x = \frac{\sin^2 x}{\cos x} \] 当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，$\sin x \approx x$，$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$），故： \[ \ln(1+x^2+x^4) \approx x^2 + x^4, \quad \sin^2 x \approx x^2 \] 代入极限得： \[ \lim_{x\to0}\frac{x^2 + x^4}{x^2} = \lim_{x\to0}(1 + x^2) = 1 \] **答案：** $\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及对数运算性质、三角恒等式、等价无穷小替换等知识点。

解题核心思路：

  1. 合并分子中的对数项，利用对数乘法法则简化表达式；
  2. 化简分母，利用三角恒等式将$\sec x - \cos x$转化为更易处理的形式；
  3. 应用等价无穷小替换，结合泰勒展开或近似公式，将分子和分母中的高阶小项简化，最终求出极限值。

破题关键点：

  • 分子合并：通过$\ln a + \ln b = \ln(ab)$合并对数项，简化表达式；
  • 分母化简：利用$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，结合$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$进行变形；
  • 近似展开：当$x \to 0$时，$\ln(1+y) \approx y$（$y \to 0$），$\sin x \approx x$，$\cos x \approx 1$。

步骤1：合并分子中的对数项

根据对数性质$\ln a + \ln b = \ln(ab)$，分子可合并为：
$\ln(1+x+x^2) + \ln(1-x+x^2) = \ln\left[(1+x+x^2)(1-x+x^2)\right].$

步骤2：展开并简化分子表达式

计算乘积$(1+x+x^2)(1-x+x^2)$：
$\begin{aligned}(1+x+x^2)(1-x+x^2) &= (1+x^2)^2 - x^2 \quad \text{（利用平方差公式）} \\&= 1 + 2x^2 + x^4 - x^2 \\&= 1 + x^2 + x^4.\end{aligned}$
因此，分子变为：
$\ln(1 + x^2 + x^4).$

步骤3：化简分母

利用$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，分母可变形为：
$\sec x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\cos x}.$

步骤4：应用等价无穷小替换

当$x \to 0$时：

  • $\cos x \approx 1$，$\sin x \approx x$，因此$\sin^2 x \approx x^2$；
  • $\ln(1 + x^2 + x^4) \approx x^2 + x^4$（因$x^2 + x^4 \to 0$）。

代入分子和分母的近似表达式：
$\frac{\ln(1 + x^2 + x^4)}{\frac{\sin^2 x}{\cos x}} \approx \frac{x^2 + x^4}{x^2} = 1 + x^2.$

步骤5：求极限

当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，故：
$\lim_{x \to 0} (1 + x^2) = 1.$