用初等行变换将下列矩阵先化为行阶梯形，再化为行最简形：(1) }1&1&-1&01&2&-1&32&3&0&5。

本题主要考查利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。初等行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的倍数。解题思路是先通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵（即非零行的第一个非零元素所在列的下方元素全为零），再进一步将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵（即非零行的第一个非零元素为 1，且这些非零元素所在列的其他元素全为零）。

(1) 对于矩阵 $\begin{pmatrix}1&1&-1&0\\1&2&-1&3\\2&3&0&5\end{pmatrix}$

• 化为行阶梯形矩阵：
  • 第二行减去第一行，第三行减去第一行的 2 倍，即 $r_2 - r_1$，$r_3 - 2r_1$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 \\1 - 1 & 2 - 1 & -1 - (-1) & 3 - 0 \\2 - 2\times1 & 3 - 2\times1 & 0 - 2\times(-1) & 5 - 2\times0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 2 & 5\end{pmatrix}$
  • 第三行减去第二行，即 $r_3 - r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 - 0 & 1 - 1 & 2 - 0 & 5 - 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 2 & 2\end{pmatrix}$
    此时矩阵已化为行阶梯形矩阵。
• 化为行最简形矩阵：
  • 第三行乘以 $\frac{1}{2}$，即 $\frac{1}{2}r_3$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$
  • 第一行加上第三行，第一行减去第二行，即 $r_1 + r_3$，$r_1 - r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 + 0 & 1 - 1 & -1 + 1 & 0 + 1 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -2 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$

(2) 对于矩阵 $\begin{pmatrix}2&1&3\\-1&1&-2\\1&2&-1\end{pmatrix}$

• 化为行阶梯形矩阵：
  • 交换第一行和第三行，即 $r_1 \leftrightarrow r_3$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\-1 & 1 & -2 \\2 & 1 & 3\end{pmatrix}$
  • 第二行加上第一行，第三行减去第一行的 2 倍，即 $r_2 + r_1$，$r_3 - 2r_1$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\-1 + 1 & 1 + 2 & -2 + (-1) \\2 - 2\times1 & 1 - 2\times2 & 3 - 2\times(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\0 & 3 & -3 \\0 & -3 & 5\end{pmatrix}$
  • 第三行加上第二行，即 $r_3 + r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\0 & 3 & -3 \\0 + 0 & -3 + 3 & 5 + (-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\0 & 3 & -3 \\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$
    此时矩阵已化为行阶梯形矩阵。
• 化为行最简形矩阵：
  • 第二行乘以 $\frac{1}{3}$，第三行乘以 $\frac{1}{2}$，即 $\frac{1}{3}r_2$，$\frac{1}{2}r_3$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
  • 第一行减去第二行的 2 倍，第一行加上第三行，第二行加上第三行，即 $r_1 - 2r_2$，$r_1 + r_3$，$r_2 + r_3$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 - 2\times0 & 2 - 2\times1 & -1 - 2\times(-1) + 1 \\0 + 0 & 1 + 0 & -1 + 1 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

(3) 对于矩阵 $\begin{pmatrix}2&-1&-1&1&2\\1&1&-2&1&4\\4&-6&2&-2&4\\3&6&-9&7&9\end{pmatrix}$

• 化为行阶梯形矩阵：
  • 交换第一行和第二行，即 $r_1 \leftrightarrow r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{pmatrix}$
  • 第二行减去第一行的 2 倍，第三行减去第一行的 4 倍，第四行减去第一行的 3 倍，即 $r_2 - 2r_1$，$r_3 - 4r_1$，$r_4 - 3r_1$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\2 - 2\times1 & -1 - 2\times1 & -1 - 2\times(-2) & 1 - 2\times1 & 2 - 2\times4 \\4 - 4\times1 & -6 - 4\times1 & 2 - 4\times(-2) & -2 - 4\times1 & 4 - 4\times4 \\3 - 3\times1 & 6 - 3\times1 & -9 - 3\times(-2) & 7 - 3\times1 & 9 - 3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\0 & -10 & 10 & -6 & -12 \\0 & 3 & -3 & 4 & -3\end{pmatrix}$
  • 第三行减去第二行的 $\frac{10}{3}$ 倍，第四行加上第二行，即 $r_3 - \frac{10}{3}r_2$，$r_4 + r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\0 - \frac{10}{3}\times0 & -10 - \frac{10}{3}\times(-3) & 10 - \frac{10}{3}\times3 & -6 - \frac{10}{3}\times(-1) & -12 - \frac{10}{3}\times(-6) \\0 + 0 & 3 + (-3) & -3 + 3 & 4 + (-1) & -3 + (-6)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\0 & 0 & 0 & -\frac{8}{3} & 8 \\0 & 0 & 0 & 3 & -9\end{pmatrix}$
  • 第三行乘以 $-\frac{3}{8}$，第四行乘以 $\frac{1}{3}$，即 $-\frac{3}{8}r_3$，$\frac{1}{3}r_4$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}$
  • 第四行减去第三行，即 $r_4 - r_3$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
    此时矩阵已化为行阶梯形矩阵。
• 化为行最简形矩阵：
  • 第二行加上第三行，第一行减去第三行，即 $r_2 + r_3$，$r_1 - r_3$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 1 - 1 & 4 - (-3) \\0 & -3 & 3 & -1 + 1 & -6 + (-3) \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 0 & 7 \\0 & -3 & 3 & 0 & -9 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
  • 第二行乘以 $-\frac{1}{3}$，即 $-\frac{1}{3}r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & 0 & 7 \\0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
  • 第一行减去第二行，即 $r_1 - r_2$，得到：
    $\begin{pmatrix}1 - 0 & 1 - 1 & -2 - (-1) & 0 - 0 & 7 - 3 \\0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$