(5)已知∑是平面 +dfrac (y)(2)+dfrac (z)(4)=1 在第一卦限内的部分,则 iint (4x+2y+z)ds= () .-|||-A. sqrt (21) B. sqrt (21) C. sqrt (21) D. sqrt (21)pi

考查要点：本题主要考查曲面积分的计算，涉及平面在第一卦限内的投影区域确定、面积元素的转换以及积分化简。

解题核心思路：

1. 确定曲面形状：将平面方程转化为截距式，明确曲面在第一卦限内的三角形区域。
2. 投影区域分析：将曲面投影到XY平面，确定投影区域D的边界条件。
3. 简化积分函数：通过代入平面方程消去变量，将积分函数转化为常数。
4. 计算曲面面积：利用面积元素公式，结合投影区域的面积，求出曲面面积。

破题关键点：

• 积分函数化简：发现积分函数中的变量项相互抵消，简化为常数。
• 面积元素转换：正确计算投影后的面积元素系数$\sqrt{21}$。

步骤1：确定曲面形状

平面方程$x + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{4} = 1$在第一卦限内的截距为$(1,0,0)$、$(0,2,0)$、$(0,0,4)$，形成三角形曲面。

步骤2：投影区域分析

将平面方程解为$z = 4 - 4x - 2y$，并结合$z \geq 0$，得到投影区域D的条件：
$2x + y \leq 2, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0.$
投影区域D是XY平面上的三角形，顶点为$(0,0)$、$(1,0)$、$(0,2)$，面积为$\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$。

步骤3：简化积分函数

将$z = 4 - 4x - 2y$代入积分函数：
$4x + 2y + z = 4x + 2y + (4 - 4x - 2y) = 4.$

步骤4：计算曲面面积

面积元素为：
$dS = \sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx \, dy = \sqrt{1 + (-4)^2 + (-2)^2} \, dx \, dy = \sqrt{21} \, dx \, dy.$
曲面面积为：
$\iint_D \sqrt{21} \, dx \, dy = \sqrt{21} \times 1 = \sqrt{21}.$

步骤5：计算积分结果

积分结果为：
$\iint (4x + 2y + z) \, dS = 4 \times \sqrt{21} = 4\sqrt{21}.$