1 2 3 ... n-|||-2 3 4 ... 1-|||-三、(12分)计算n阶行列式 3 4 5 ... 2 。-|||-......... .......-|||-n 1 2 ... n-1

考查要点：本题主要考查n阶行列式的计算技巧，特别是利用列加减、提取公因子、行变换等方法将复杂行列式化简为易计算的形式。

解题核心思路：

1. 列加减法：将各列相加到第1列，利用每一行元素之和为定值，提取公因子。
2. 行变换：通过相邻行相减，将行列式转化为上三角或带规律的结构，简化计算。
3. 符号处理：注意行列式变换过程中符号的变化规律。

破题关键点：

• 发现每一行元素之和为定值，从而通过列加减法提取公因子。
• 通过行变换制造零元素，将行列式转化为易于计算的形式。

步骤1：列加减法提取公因子

将行列式的各列相加到第1列，此时第1列的每个元素变为：
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
因此，第1列可提出公因子$\frac{n(n+1)}{2}$，行列式变为：
$D = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\1 & 3 & 5 & \cdots & 1 \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\1 & n & 1 & \cdots & n-1\end{vmatrix}$

步骤2：行变换化简行列式

对化简后的行列式进行相邻行相减：

• 第$n$行减第$n-1$行
• 第$n-1$行减第$n-2$行
• $\cdots$
• 第2行减第1行

通过此操作，第1列下方元素全变为0，其余列元素形成规律性变化。最终行列式变为上三角形式，对角线元素为1，其余元素按特定规律排列。

步骤3：计算最终结果

上三角行列式的值为对角线元素乘积，结合符号因子$(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}$（由行变换次数决定），最终结果为：
$D = \frac{n(n+1)}{2} \cdot (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot \frac{1}{2}(n^n + n^{n-1})$