)求函数 =(x-1)(e)^dfrac (pi {2)}+arctan x 的单调区间、极值,并求曲线的渐近线.

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=(x-1){e}^{\dfrac {\pi }{2}}\arctan x$ 的导数 $y'$。利用乘积法则和链式法则，我们得到：
$$
y' = \frac{d}{dx}[(x-1){e}^{\dfrac {\pi }{2}}\arctan x] = {e}^{\dfrac {\pi }{2}}\arctan x + (x-1){e}^{\dfrac {\pi }{2}}\frac{1}{1+x^2}
$$
化简后得到：
$$
y' = \frac{{x}^{2}+x}{1+{x}^{2}}{e}^{\dfrac {\pi }{2}+\arctan x}
$$
步骤 2：求驻点
令 $y'=0$，解得驻点 ${x}_{1}=0$ 和 ${x}_{2}=-1$。
步骤 3：确定单调区间和极值
根据导数的符号，我们可以确定函数的单调区间和极值。列表如下：
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 0) & (0, +\infty) \\
\hline
y' & + & 0 & - & + \\
\hline
y & \text{递增} & -2{e}^{\dfrac {\pi }{4}} & \text{递减} & \text{递增} \\
\end{array}
$$
由此可见，递增区间为 $(-\infty, -1)$ 和 $(0, +\infty)$；递减区间为 $(-1, 0)$。极小值为 $f(0)=-{e}^{\dfrac {\pi }{2}}$；极大值为 $f(-1)=-2{e}^{\dfrac {\pi }{4}}$。
步骤 4：求渐近线
求渐近线需要计算极限：
$$
{a}_{1}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {f(x)}{x}={e}^{\pi}
$$
$$
b =\lim _{x\rightarrow +\infty }[ f(x)-a,x] =-2{e}^{x}
$$
$$
{a}_{2}=\lim _{x\rightarrow -\infty }\dfrac {f(x)}{x}=1
$$
$$
{b}_{2}=\lim _{x\rightarrow \infty }[ f(x)-{a}_{2}x] =-2
$$
由此可见，渐近线为 $y={e}^{\pi}(x-2)$ 和 $y=x-2$。