排列 53468217 的逆序数=______。A. 13B. 14C. 15D. 16

本题考察排列逆序数的计算，逆序数指的是一个排列中所有逆序的总数，逆序即指在一个排列中，若一对数的前后位置与大小顺序相反（即前面的数大于后面的数），则称它们构成一个逆序。计算方法是分别计算每个数后面比它小的数的个数，再将所有个数相加。

步骤1：明确排列及计算规则

给定排列：$5,3,4,6,8,2,1,7$，共8个元素，对每个元素$a_i$（$i=1,2,\dots,8$），计算其后面比$a_i$小的数的个数，记为$t_i$，则总逆序数$N=t_1+t_2+\dots+t_8$。

步骤2：逐个计算每个元素的$t_i$

• $a_1=5$：后面的数为$3,4,6,8,2,1,7$，比5小的数有$3,4,2,1$，共$4$个，故$t_1=4$；
• $a_2=3$：后面的数为$4,6,8,2,1,7$，比3小的数有$2,1$，共$2$个，故$t_2=2$；
• $a_3=4$：后面的数为$6,8,2,1,7$，比4小的数有$2,1$，共$2$个，故$t_3=2$；
• $a_4=6$：后面的数为$8,2,1,7$，比6小的数有$2,1$，共$2$个，故$t_4=2$；
• $a_5=8$：后面的数为$2,111,7$（修正：应为$2,1,7$），比8小的数有$2,1$，共$2$个，故$t_5=2$；
• $a_6=2$：后面的数为$1,7$，比2小的数有$1$，共$1$个，故$t_6=1$；
• $a_7=1$：后面的数为$7$，没有比1小的数，故$t_7=0$；
• $a_8=7$：后面没有数，故$t_8=0$。

步骤3：求和得总逆序数

$N=t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8=4+2+2+2+2+1+0+0=15$？（发现原答案矛盾，重新检查）

修正：重新计算$a_5=8$的$t_5$

$a_5=8$后面的数为$2,1,7$，比8小的数有$2,1,7$吗？不，$7<8$，故比8小的数是$2,1,7$，共$3$个！
修正后：$t_5=3$，则$N=4+2+2+2+3+1+0+0=14$，与原答案一致。