题目
设随机变量 sim U[ 0,2] , 则随机变量 =(X)^2 的概率密度 _(y)(y)= __A.设随机变量 sim U[ 0,2] , 则随机变量 =(X)^2 的概率密度 _(y)(y)= __B.设随机变量 sim U[ 0,2] , 则随机变量 =(X)^2 的概率密度 _(y)(y)= __C.设随机变量 sim U[ 0,2] , 则随机变量 =(X)^2 的概率密度 _(y)(y)= __D.设随机变量 sim U[ 0,2] , 则随机变量 =(X)^2 的概率密度 _(y)(y)= __
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
B. ${f}_{y}(y)=$ $\dfrac {1}{4\sqrt {y}}:0\leqslant y\leqslant 4$,0 其余.
解析
步骤 1：确定 $X$ 的概率密度函数
$X$ 是在区间 $[0,2]$ 上的均匀分布，因此其概率密度函数为：
${f}_{X}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\leqslant x\leqslant 2,\\ 0,\quad 其他.\end{matrix} \right.$
步骤 2：确定 $Y$ 的分布函数
$Y = X^2$，因此 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来表示。由于 $Y = X^2$，则 $X = \sqrt{Y}$ 或 $X = -\sqrt{Y}$，但因为 $X$ 的取值范围是 $[0,2]$，所以只考虑 $X = \sqrt{Y}$。因此，$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y})$。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 可以通过 $F_Y(y)$ 的导数得到。即 ${f}_{Y}(y) = \dfrac{d}{dy}F_Y(y) = \dfrac{d}{dy}F_X(\sqrt{y})$。由于 $F_X(x) = \dfrac{x}{2}$，则 $F_X(\sqrt{y}) = \dfrac{\sqrt{y}}{2}$。因此，${f}_{Y}(y) = \dfrac{d}{dy}\dfrac{\sqrt{y}}{2} = \dfrac{1}{4\sqrt{y}}$，当 $0 \leq y \leq 4$ 时。当 $y$ 不在 $[0,4]$ 范围内时，${f}_{Y}(y) = 0$。
$X$ 是在区间 $[0,2]$ 上的均匀分布，因此其概率密度函数为：
${f}_{X}(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\leqslant x\leqslant 2,\\ 0,\quad 其他.\end{matrix} \right.$
步骤 2：确定 $Y$ 的分布函数
$Y = X^2$，因此 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来表示。由于 $Y = X^2$，则 $X = \sqrt{Y}$ 或 $X = -\sqrt{Y}$，但因为 $X$ 的取值范围是 $[0,2]$，所以只考虑 $X = \sqrt{Y}$。因此，$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y})$。
步骤 3：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 可以通过 $F_Y(y)$ 的导数得到。即 ${f}_{Y}(y) = \dfrac{d}{dy}F_Y(y) = \dfrac{d}{dy}F_X(\sqrt{y})$。由于 $F_X(x) = \dfrac{x}{2}$，则 $F_X(\sqrt{y}) = \dfrac{\sqrt{y}}{2}$。因此，${f}_{Y}(y) = \dfrac{d}{dy}\dfrac{\sqrt{y}}{2} = \dfrac{1}{4\sqrt{y}}$，当 $0 \leq y \leq 4$ 时。当 $y$ 不在 $[0,4]$ 范围内时，${f}_{Y}(y) = 0$。