题目
.5-32 一半径为R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷体密-|||-度为ρ.现取棒表面为零电势,求空间电势分布,并画出电势分布曲线.-|||-V↑-|||-O R-|||-题 5-32 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定高斯面
取高度为l、半径为r且与带电细棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理得，当 $r\leqslant R$ 时，电场强度E与高斯面的法线方向平行，因此，高斯面的电通量为 $E·2\pi rl$。
步骤 2：计算电场强度
当 $r\leqslant R$ 时，由高斯定理得 $E·2\pi rl=\pi {r}^{2}lo{l}_{2}$，解得 $E(r)=\dfrac {{\rho }_{1}}{2{\varepsilon }_{0}}$。当 $r\geqslant R$ 时，由高斯定理得 $E·2\pi rl=\pi {R}^{2}lol{e}_{3}$，解得 $E(r)=\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}r}$。
步骤 3：计算电势
取棒表面为零电势，由电势的定义得，当 $r\leqslant R$ 时，$V(r)={\int }_{r}^{R}\dfrac {Pr}{2{\varepsilon }_{0}}dr=\dfrac {\rho }{4{\varepsilon }_{0}}({R}^{2}-{r}^{2})$。当 $r\geqslant R$ 时，$V(r)={\int }_{1}^{R}\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}r}dr=\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}}\ln \dfrac {R}{r}$。
取高度为l、半径为r且与带电细棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理得，当 $r\leqslant R$ 时，电场强度E与高斯面的法线方向平行，因此，高斯面的电通量为 $E·2\pi rl$。
步骤 2：计算电场强度
当 $r\leqslant R$ 时，由高斯定理得 $E·2\pi rl=\pi {r}^{2}lo{l}_{2}$，解得 $E(r)=\dfrac {{\rho }_{1}}{2{\varepsilon }_{0}}$。当 $r\geqslant R$ 时，由高斯定理得 $E·2\pi rl=\pi {R}^{2}lol{e}_{3}$，解得 $E(r)=\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}r}$。
步骤 3：计算电势
取棒表面为零电势，由电势的定义得，当 $r\leqslant R$ 时，$V(r)={\int }_{r}^{R}\dfrac {Pr}{2{\varepsilon }_{0}}dr=\dfrac {\rho }{4{\varepsilon }_{0}}({R}^{2}-{r}^{2})$。当 $r\geqslant R$ 时，$V(r)={\int }_{1}^{R}\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}r}dr=\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}}\ln \dfrac {R}{r}$。