题目

计算行列式：1 3 2 4-|||-2 1 3 1-|||-3 2 1 4-|||-2 1 0 1

计算行列式：

$D=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 2 & 1 & 3 & 1 \\3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

题目解答

答案

计算四阶行列式时，利用初等行变换化为上三角行列式，其对角线元素的乘积即为行列式的值

$D=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 2 & 1 & 3 & 1 \\3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ $\overset{\underset {\mathrm{r_3-3r_1}} {r_2-2r_1}}{\overset{\underset {\mathrm{}} {r_4-2r_1}}{=}}$ $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 0 & -5 &-1 & -7 \\0& -7 & -5 & -8 \\ 0& -5 & -4 & -7 \end{vmatrix}$ $\overset{\underset {\mathrm{r_4-r_2}} {5r_3-7r_2}}{=}$ $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 0 & -5 &-1 & -7 \\0& 0 & -18& 7 \\ 0& 0& -3 & 0 \end{vmatrix}$ $\overset{\underset {\mathrm{}} {6r_4-r_3}}{=}$ $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & 4\\ 0 & -5 &-1 & -7 \\0& 0 & -18& 7 \\ 0& 0& 0 & -7 \end{vmatrix}$ $=1\times\left(-5\right)\times\left(-18\right)\times\left(-7\right)=-630$

解析

步骤 1：观察行列式
观察给定的四阶行列式，发现可以通过初等行变换将其化为上三角行列式，从而简化计算。
步骤 2：进行初等行变换
对行列式进行初等行变换，目的是将行列式化为上三角形式。具体操作如下：
- 将第一行乘以适当的系数加到其他行，使得第一列除了第一个元素外，其余元素都变为0。
- 对第二行进行类似操作，使得第二列除了前两个元素外，其余元素都变为0。
- 重复上述步骤，直到行列式化为上三角形式。
步骤 3：计算上三角行列式的值
上三角行列式的值等于其对角线元素的乘积。计算这些元素的乘积，即得到原行列式的值。