题目
下列矩阵中,不是二次型矩阵的为()。A. } 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1
下列矩阵中,不是二次型矩阵的为()。
A. $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 6 \\ -2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
题目解答
答案
D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
解析
步骤 1：二次型矩阵的定义
二次型矩阵必须是对称矩阵，即满足 $A^T = A$。这意味着矩阵的转置矩阵等于其本身，即矩阵的元素满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
步骤 2：分析选项 A
矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ 是对角矩阵，显然对称，因为对角线以外的元素都是0，满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
步骤 3：分析选项 B
矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 也是对角矩阵，显然对称，因为对角线以外的元素都是0，满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
步骤 4：分析选项 C
矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 6 \\ -2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$ 的非对角线元素满足 $a_{ij} = a_{ji}$，即 $a_{13} = a_{31} = -2$ 和 $a_{23} = a_{32} = 6$，因此该矩阵对称。
步骤 5：分析选项 D
矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ 的非对角线元素不满足 $a_{ij} = a_{ji}$，即 $a_{12} = 2$ 而 $a_{21} = 4$，$a_{13} = 3$ 而 $a_{31} = 7$，$a_{23} = 6$ 而 $a_{32} = 8$，因此该矩阵不对称。
二次型矩阵必须是对称矩阵，即满足 $A^T = A$。这意味着矩阵的转置矩阵等于其本身，即矩阵的元素满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
步骤 2：分析选项 A
矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ 是对角矩阵，显然对称，因为对角线以外的元素都是0，满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
步骤 3：分析选项 B
矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 也是对角矩阵，显然对称，因为对角线以外的元素都是0，满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
步骤 4：分析选项 C
矩阵 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 4 & 6 \\ -2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$ 的非对角线元素满足 $a_{ij} = a_{ji}$，即 $a_{13} = a_{31} = -2$ 和 $a_{23} = a_{32} = 6$，因此该矩阵对称。
步骤 5：分析选项 D
矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ 的非对角线元素不满足 $a_{ij} = a_{ji}$，即 $a_{12} = 2$ 而 $a_{21} = 4$，$a_{13} = 3$ 而 $a_{31} = 7$，$a_{23} = 6$ 而 $a_{32} = 8$，因此该矩阵不对称。