函数 z = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x 的极小值点是()。A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,-1)

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要对函数 $z = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 求偏导数，以找到可能的极值点。
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 6x - 9
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -3y^2 + 6y
$$
步骤 2：求解偏导数等于0的方程
接下来，我们解方程 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，以找到可能的极值点。
$$
3x^2 + 6x - 9 = 0
$$
$$
-3y^2 + 6y = 0
$$
解第一个方程：
$$
x^2 + 2x - 3 = 0
$$
$$
(x + 3)(x - 1) = 0
$$
得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
解第二个方程：
$$
y^2 - 2y = 0
$$
$$
y(y - 2) = 0
$$
得到 $y = 0$ 或 $y = 2$。
步骤 3：验证极值点
根据上述解，我们得到可能的极值点为 $(-3, 0)$, $(-3, 2)$, $(1, 0)$, $(1, 2)$。根据题目选项，我们只需要验证 $(1, 0)$ 是否为极小值点。
步骤 4：计算二阶偏导数
为了确定 $(1, 0)$ 是否为极小值点，我们需要计算二阶偏导数。
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 6x + 6
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -6y + 6
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
$$
步骤 5：计算Hessian矩阵的行列式
在点 $(1, 0)$ 处，我们有：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 12
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6
$$
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
$$
Hessian矩阵为：
$$
H = \begin{bmatrix}
12 & 0 \\
0 & 6
\end{bmatrix}
$$
行列式为：
$$
\det(H) = 12 \times 6 - 0 = 72
$$
由于 $\det(H) > 0$ 且 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0$，所以 $(1, 0)$ 是极小值点。