微分方程 y'' - 4y' + 4y = 0 的通解是（）A. y = (C_1 + C_2x)e^2xB. y = (C_1 + C_2x)e^-2xC. y = C_1e^x + C_2e^2xD. y = C_1 + C_2xe^2x

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，特别是特征方程有重根时的通解形式。

解题核心思路：

1. 写出特征方程：将微分方程中的导数项替换为对应的特征变量$r$，得到二次方程$r^2 - 4r + 4 = 0$。
2. 求解特征根：通过判别式判断根的性质，本题中判别式为$0$，得到二重根$r=2$。
3. 构造通解：当特征方程有重根时，通解形式为$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$，代入$r=2$即可得到答案。

破题关键点：

• 正确识别特征方程的根，尤其是重根的情况。
• 记忆重根对应的通解形式，避免混淆不同根情况下的解结构。

步骤1：写出特征方程

将微分方程$y'' - 4y' + 4y = 0$中的$y''$、$y'$、$y$分别替换为$r^2$、$r$、$1$，得到特征方程：
$r^2 - 4r + 4 = 0$

步骤2：求解特征根

解方程$r^2 - 4r + 4 = 0$：

• 判别式$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0$，说明方程有二重根。
• 根为$r = \frac{4}{2} = 2$，即$r=2$是二重根。

步骤3：构造通解

当特征方程有重根$r$时，通解形式为：
$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$
代入$r=2$，得通解：
$y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$
对应选项A。