玻璃杯成箱出售，每箱20个，假设各箱中含0,1,2个残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4个，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：(结果保留两位小数)(1) 顾客买下该箱玻璃杯的概率。(2) 在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

问题解答

(1) 顾客买下该箱玻璃杯的概率

定义事件：

• $ A_0 $：箱中无残次品，$ P(A_0) = 0.8 $
• $ A_1 $：箱中恰有1个残次品，$ P(A_1) = 0.1 $
• $ A_2 $：箱中恰有2个残次品，$ P(A_2) = 0.1 $
• $ B $：顾客买下该箱（即抽查4个均无残次品）

计算条件概率：

• $ P(B \mid A_0) = 1 $（无残次品时必买）
• $ P(B \mid A_1) = \frac{C_{19}^4}{C_{20}^4} = 0.8 $
• $ P(B \mid A_2) = \frac{C_{18}^4}{C_{20}^4} = \frac{12}{19} \approx 0.6316 $

应用全概率公式：
$P(B) = P(A_0)P(B \mid A_0) + P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) = 0.8 \times 1 + 0.1 \times 0.8 + 0.1 \times \frac{12}{19} \approx 0.94$

(2) 在顾客买下的一箱中确实无残次品的概率

应用贝叶斯定理：
$P(A_0 \mid B) = \frac{P(A_0)P(B \mid A_0)}{P(B)} = \frac{0.8 \times 1}{0.94} \approx 0.85$