题目
设 L 是从点 (0,0) 到点 (0,-2) 的直线段，则曲线积分 int_(L) x , dx + y , dy = ___。A. 2B. 2sqrt(2)C. -2D. -2sqrt(2)
设 $L$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(0,-2)$ 的直线段，则曲线积分 $\int_{L} x \, dx + y \, dy = \_\_\_$。
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. $-2$
D. $-2\sqrt{2}$
题目解答
答案
A. 2
解析
步骤 1：确定直线段 $L$ 的参数方程
直线段 $L$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(0,-2)$，因此 $x$ 始终为 $0$，$y$ 从 $0$ 变化到 $-2$。可以使用参数 $t$（$0 \leq t \leq 1$），令 $y = -2t$，$dy = -2 \, dt$。
步骤 2：将参数方程代入曲线积分
将 $x = 0$，$dx = 0$，$y = -2t$，$dy = -2 \, dt$ 代入曲线积分 $\int_{L} x \, dx + y \, dy$，得到： \[ \int_{L} x \, dx + y \, dy = \int_{0}^{1} (-2t) \cdot (-2 \, dt) = \int_{0}^{1} 4t \, dt \]
步骤 3：计算积分
计算积分 $\int_{0}^{1} 4t \, dt$，得到： \[ \int_{0}^{1} 4t \, dt = \left[ 2t^2 \right]_{0}^{1} = 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 0^2 = 2 \]
直线段 $L$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(0,-2)$，因此 $x$ 始终为 $0$，$y$ 从 $0$ 变化到 $-2$。可以使用参数 $t$（$0 \leq t \leq 1$），令 $y = -2t$，$dy = -2 \, dt$。
步骤 2：将参数方程代入曲线积分
将 $x = 0$，$dx = 0$，$y = -2t$，$dy = -2 \, dt$ 代入曲线积分 $\int_{L} x \, dx + y \, dy$，得到： \[ \int_{L} x \, dx + y \, dy = \int_{0}^{1} (-2t) \cdot (-2 \, dt) = \int_{0}^{1} 4t \, dt \]
步骤 3：计算积分
计算积分 $\int_{0}^{1} 4t \, dt$，得到： \[ \int_{0}^{1} 4t \, dt = \left[ 2t^2 \right]_{0}^{1} = 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 0^2 = 2 \]