题目
刘老师好 有线性代数想请教你 4元方程组Ax=b中，系数矩阵的秩r(A)=3,a1.a2,a3,是方程组的三个解，若a1=【1,1,1,1，】T，a2+a3=【2,3,4,5】T，则方程组的通解为？
刘老师好 有线性代数想请教你
4元方程组Ax=b中，系数矩阵的秩r(A)=3,a1.a2,a3,是方程组的三个解，若a1=【1,1,1,1，】T，a2+a3=【2,3,4,5】T，则方程组的通解为？
4元方程组Ax=b中，系数矩阵的秩r(A)=3,a1.a2,a3,是方程组的三个解，若a1=【1,1,1,1，】T，a2+a3=【2,3,4,5】T，则方程组的通解为？
题目解答
答案
由已知, AX=0 的基础解系含 4 - r(A) = 1 个向量
所以 (a2+a3) - 2a1 = (0,1,2,3)^T 是 AX=0 的基础解系
所以 AX=b 的通解为 (1,1,1,1)^T + k(0,1,2,3)^T
所以 (a2+a3) - 2a1 = (0,1,2,3)^T 是 AX=0 的基础解系
所以 AX=b 的通解为 (1,1,1,1)^T + k(0,1,2,3)^T
解析
步骤 1：确定齐次方程组的基础解系
由于方程组的系数矩阵的秩为3，而方程组是4元的，因此齐次方程组\(AX=0\)的基础解系含\(4 - r(A) = 1\)个向量。
步骤 2：计算齐次方程组的一个解
已知\(a_1, a_2, a_3\)是方程组\(AX=b\)的三个解，且\(a_1 = [1, 1, 1, 1]^T\)，\(a_2 + a_3 = [2, 3, 4, 5]^T\)。根据线性代数原理，\(a_2 - a_1\)和\(a_3 - a_1\)是齐次方程组\(AX=0\)的解。因此，\(a_2 + a_3 - 2a_1\)也是\(AX=0\)的解。计算得：
\[a_2 + a_3 - 2a_1 = [2, 3, 4, 5]^T - 2[1, 1, 1, 1]^T = [0, 1, 2, 3]^T\]
所以，\(AX=0\)的一个解为\([0, 1, 2, 3]^T\)。
步骤 3：确定非齐次方程组的通解
非齐次方程组\(AX=b\)的通解由其一个特解加上齐次方程组\(AX=0\)的通解构成。已知\(a_1 = [1, 1, 1, 1]^T\)是\(AX=b\)的一个特解，而\(AX=0\)的通解为\(k[0, 1, 2, 3]^T\)，其中\(k\)为任意常数。因此，\(AX=b\)的通解为：
\[a_1 + k[0, 1, 2, 3]^T = [1, 1, 1, 1]^T + k[0, 1, 2, 3]^T\]
由于方程组的系数矩阵的秩为3，而方程组是4元的，因此齐次方程组\(AX=0\)的基础解系含\(4 - r(A) = 1\)个向量。
步骤 2：计算齐次方程组的一个解
已知\(a_1, a_2, a_3\)是方程组\(AX=b\)的三个解，且\(a_1 = [1, 1, 1, 1]^T\)，\(a_2 + a_3 = [2, 3, 4, 5]^T\)。根据线性代数原理，\(a_2 - a_1\)和\(a_3 - a_1\)是齐次方程组\(AX=0\)的解。因此，\(a_2 + a_3 - 2a_1\)也是\(AX=0\)的解。计算得：
\[a_2 + a_3 - 2a_1 = [2, 3, 4, 5]^T - 2[1, 1, 1, 1]^T = [0, 1, 2, 3]^T\]
所以，\(AX=0\)的一个解为\([0, 1, 2, 3]^T\)。
步骤 3：确定非齐次方程组的通解
非齐次方程组\(AX=b\)的通解由其一个特解加上齐次方程组\(AX=0\)的通解构成。已知\(a_1 = [1, 1, 1, 1]^T\)是\(AX=b\)的一个特解，而\(AX=0\)的通解为\(k[0, 1, 2, 3]^T\)，其中\(k\)为任意常数。因此，\(AX=b\)的通解为：
\[a_1 + k[0, 1, 2, 3]^T = [1, 1, 1, 1]^T + k[0, 1, 2, 3]^T\]