2.求圆周 rho =3cos theta 与心形线 rho =1+cos theta 所围图形的公共部分的面积.

本题考查极坐标下平面图形的面积计算。解题思路是先求出两曲线的交点，确定积分区间，然后根据极坐标下图形面积公式分别计算不同区间上的面积，最后将各部分面积相加得到公共部分的面积。

步骤一：求两曲线的交点

联立两曲线方程$\begin{cases}\rho = 3\cos\theta\\\rho = 1 + \cos\theta\end{cases}$，可得$3\cos\theta = 1 + \cos\theta$，移项得到$3\cos\theta - \cos\theta = 1$，即$2\cos\theta = 1$，解得$\cos\theta = \frac{1}{2}$，那么$\theta = \pm\frac{\pi}{3}$。

步骤二：确定积分区间并计算面积

根据图形的对称性，所求公共部分的面积$S$是$\theta$从$-\frac{\pi}{3}$到$\frac{\pi}{3}$上两曲线所围面积的$2$倍。
在$[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$区间内，当$\theta\in[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$时，$\rho = 3\cos\theta$与$\rho = 1 + \cos\theta$所围图形的面积可以通过极坐标下的面积公式$S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}d\theta$来计算。
将公共部分面积$S$分为两部分计算：

• 当$\theta\in[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$时，$\rho = 3\cos\theta$与$\rho = 1 + \cos\theta$所围图形的面积$S = 2\times\left(\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos\theta)^{2}d\theta\right)$。
• 先计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta$：
  将$(1 + \cos\theta)^{2}$展开得$1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta$，根据$\cos^{2}\theta=\frac{1 + \cos2\theta}{2}$，则$1 + 2\cos\theta + \cos^{2}\theta = 1 + 2\cos\theta + \frac{1 + \cos2\theta}{2}=\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta$。
  所以$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(1 + \cos\theta)^{2}d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{1}{2}\cos2\theta\right)d\theta$
  $=\left[\frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
  $=\frac{3}{2}\times\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3}-(0 + 0 + 0)$
  $=\frac{\pi}{2} + 2\times\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{2}+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\pi}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
• 再计算$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos\theta)^{2}d\theta$：
  $(3\cos\theta)^{2}=9\cos^{2}\theta = 9\times\frac{1 + \cos2\theta}{2}=\frac{9}{2} + \frac{9}{2}\cos2\theta$。
  所以$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos\theta)^{2}d\theta=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{9}{2} + \frac{9}{2}\cos2\theta\right)d\theta$
  $=\left[\frac{9}{2}\theta + \frac{9}{4}\sin2\theta\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$
  $=\left(\frac{9}{2}\times\frac{\pi}{2} + \frac{9}{4}\sin\pi\right)-\left(\frac{9}{2}\times\frac{\pi}{3} + \frac{9}{4}\sin\frac{2\pi}{3}\right)$
  $=\frac{9\pi}{4}- \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{9}{4}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{9\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{3\pi}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
• 则$S = 2\times\left(\frac{1}{2}\times\left(\frac{\pi}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{8}\right) + \frac{1}{2}\times\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{8}\right)\right)$
  $=\left(\frac{\pi}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{8}\right) + \left(\frac{3\pi}{4}-\frac{9\sqrt{3}}{8}\right)=\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$。