题目
若f（x）={(ln（1+ax）)/(x)，x≠0)2，x=0).在x=0处连续，则a= ____ ．
若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{ln（1+ax）}{x}，x≠0}\\{2，x=0}\end{array}\right.$在x=0处连续，则a= ____ ．
题目解答
答案
解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{ln（1+ax）}{x}，x≠0}\\{2，x=0}\end{array}\right.$在x=0处连续，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+ax）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{a}{1+ax}$=a=f（0）=2．
故答案为：2．
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+ax）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{a}{1+ax}$=a=f（0）=2．
故答案为：2．
解析
步骤 1：确定函数在x=0处连续的条件
函数f(x)在x=0处连续，意味着当x趋近于0时，函数的极限值等于函数在x=0处的值，即$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。
步骤 2：计算函数在x=0处的极限值
对于x≠0的情况，函数表达式为$\frac{ln(1+ax)}{x}$。为了计算这个极限，我们可以使用洛必达法则，因为当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0，形成不定型$\frac{0}{0}$。根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，得到$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1+ax} = a$。
步骤 3：确定a的值
根据函数在x=0处连续的条件，我们有$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，即$a = 2$。
函数f(x)在x=0处连续，意味着当x趋近于0时，函数的极限值等于函数在x=0处的值，即$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。
步骤 2：计算函数在x=0处的极限值
对于x≠0的情况，函数表达式为$\frac{ln(1+ax)}{x}$。为了计算这个极限，我们可以使用洛必达法则，因为当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0，形成不定型$\frac{0}{0}$。根据洛必达法则，我们对分子和分母分别求导，得到$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1+ax} = a$。
步骤 3：确定a的值
根据函数在x=0处连续的条件，我们有$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，即$a = 2$。