题目

8.判断题设A为n阶矩阵，且A≠O，则非齐次线性方程组AX=b有唯一解.A 对B 错

8.判断题 设A为n阶矩阵，且A≠O，则非齐次线性方程组AX=b有唯一解. A 对 B 错

题目解答

答案

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵且 $A \neq O$，非齐次线性方程组 $AX = b$ 的解情况取决于 $A$ 的秩和增广矩阵 $[A|b]$ 的秩。 - 若 $\det(A) \neq 0$，则 $A$ 可逆，方程组有唯一解。 - 但仅知 $A \neq O$，无法保证 $\det(A) \neq 0$。 - 当 $\det(A) = 0$ 时，方程组可能无解或有无穷多解。 因此，题目条件不足以确保方程组有唯一解，答案为 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的判定条件，特别是对系数矩阵性质的理解。

解题核心思路：非齐次方程组 $AX = b$ 有唯一解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A) \neq 0$（即 $A$ 可逆）。题目中仅给出 $A \neq O$（$A$ 不是零矩阵），但未说明 $A$ 是否可逆，因此无法直接得出解唯一。

破题关键点：

  1. 明确唯一解的条件：必须 $A$ 是非奇异矩阵（$\det(A) \neq 0$）。
  2. 分析题目条件的局限性：$A \neq O$ 仅排除 $A$ 为零矩阵的情况，但 $A$ 可能仍为奇异矩阵（如存在零行或线性相关的行/列）。
  3. 反例验证：构造 $A$ 为非零但不可逆的矩阵，说明方程组可能无解或有无穷解。

关键步骤分析：

  1. 唯一解的充要条件：若 $\det(A) \neq 0$，则方程组有唯一解。
  2. 题目条件的不足：$A \neq O$ 无法保证 $\det(A) \neq 0$。例如：
    • $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，此时 $A \neq O$，但 $\det(A) = 0$。
  3. 可能的解的情况：
    • 当 $\det(A) = 0$ 时，若增广矩阵 $[A|b]$ 的秩大于 $A$ 的秩，则方程组无解。
    • 若增广矩阵与 $A$ 的秩相等，则方程组有无穷多解。

结论：题目条件不足以保证方程组有唯一解，因此答案为 错（选项 B）。