题目
已知f(x)是可导的函数,则f(x)( )A. ,f(x); B. ,f(x); C. ,f(x); D. ,f(x)
已知
是可导的函数,则
( )
;B. ,
;C. ,
;D. ,
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：理解极限表达式
给定的极限表达式是$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(h)-f(-h)}{h}$。这个表达式可以看作是函数$f(x)$在$x=0$处的导数的某种形式，但需要进一步分析。
步骤 2：应用导数定义
导数的定义是$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。对于$x=0$，导数定义变为$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$。但是，给定的表达式中，分子是$f(h) - f(-h)$，而不是$f(h) - f(0)$。
步骤 3：利用导数定义进行变形
为了将给定的极限表达式与导数定义联系起来，可以将分子$f(h) - f(-h)$拆分为两部分：$f(h) - f(0) + f(0) - f(-h)$。这样，原极限表达式可以写为$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(h)-f(0)}{h} + \lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(0)-f(-h)}{h}$。注意到，$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(0)-f(-h)}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(-h)-f(0)}{-h} = f'(0)$，因为当$h$趋于$0$时，$-h$也趋于$0$。因此，原极限表达式可以写为$f'(0) + f'(0) = 2f'(0)$。
给定的极限表达式是$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(h)-f(-h)}{h}$。这个表达式可以看作是函数$f(x)$在$x=0$处的导数的某种形式，但需要进一步分析。
步骤 2：应用导数定义
导数的定义是$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。对于$x=0$，导数定义变为$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$。但是，给定的表达式中，分子是$f(h) - f(-h)$，而不是$f(h) - f(0)$。
步骤 3：利用导数定义进行变形
为了将给定的极限表达式与导数定义联系起来，可以将分子$f(h) - f(-h)$拆分为两部分：$f(h) - f(0) + f(0) - f(-h)$。这样，原极限表达式可以写为$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(h)-f(0)}{h} + \lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(0)-f(-h)}{h}$。注意到，$\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(0)-f(-h)}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f(-h)-f(0)}{-h} = f'(0)$，因为当$h$趋于$0$时，$-h$也趋于$0$。因此，原极限表达式可以写为$f'(0) + f'(0) = 2f'(0)$。