题目

20.（判断题，3分）n阶行列式}&&a_(2,n-1)&...&a_(n1)&A.对B.错我的答案：√ 错本题得分：3分

20.（判断题，3分） $n$阶行列式$\begin{vmatrix}&&a_{2,n-1}\\&\cdots&\\a_{n1}&\end{vmatrix}=a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$ A.对 B.错 我的答案： √ 错 本题得分：3分

题目解答

答案

为了判断给定的 $ n $ 阶行列式的值是否等于 $ a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $，我们需要分析行列式的定义和性质。 一个 $ n $ 阶行列式 $ D $ 的定义是： \[ D = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\tau(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}, \] 其中 $ S_n $ 是 $ n $ 个元素的排列群， $ \tau(\sigma) $ 是排列 $ \sigma $ 的逆序数。 在给定的行列式中，除了 $ a_{1n}, a_{2,n-1}, \ldots, a_{n1} $ 之外，其他所有元素都是零。因此，行列式中唯一可能非零的项是 $ a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $ 对应的排列 $ \sigma $ 的项，其中 $ \sigma $ 是 $ (n, n-1, \ldots, 1) $。 我们需要确定排列 $ (n, n-1, \ldots, 1) $ 的逆序数 $ \tau(\sigma) $。逆序数是满足 $ i < j $ 但 $ \sigma(i) > \sigma(j) $ 的数对 $ (i, j) $ 的个数。对于排列 $ (n, n-1, \ldots, 1) $，任意两个元素 $ \sigma(i) $ 和 $ \sigma(j) $ 都满足 $ \sigma(i) > \sigma(j) $ 当 $ i < j $。因此，逆序数 $ \tau(\sigma) $ 是 $ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} $。 根据行列式的定义，项 $ a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $ 的符号是 $ (-1)^{\tau(\sigma)} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} $。所以，行列式的值是： \[ D = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}. \] 只有当 $ (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = 1 $ 时，行列式的值才等于 $ a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $。但 $ (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} $ 的值取决于 $ n $ 的奇偶性： - 如果 $ n \equiv 0 \pmod{4} $ 或 $ n \equiv 1 \pmod{4} $，则 $ \frac{n(n-1)}{2} $ 是偶数， $ (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = 1 $。 - 如果 $ n \equiv 2 \pmod{4} $ 或 $ n \equiv 3 \pmod{4} $，则 $ \frac{n(n-1)}{2} $ 是奇数， $ (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = -1 $。 因此，行列式的值并不总是等于 $ a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $。所以，原题的判断是错误的。 答案是：$\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查行列式的定义及排列逆序数的计算，重点在于理解行列式展开时符号因子的作用。

解题核心思路：

  1. 行列式展开的唯一非零项：题目中行列式仅反对角线元素非零，因此展开时只有对应反对角线排列的项可能非零。
  2. 符号因子的计算：该排列的逆序数决定了符号因子的正负，需计算其逆序数并判断符号。
  3. 结论判断：若符号因子为$1$，则等式成立；否则不成立。

破题关键点：

  • 逆序数的计算：完全逆序排列的逆序数为$\frac{n(n-1)}{2}$。
  • 符号因子的奇偶性：根据$n$的奇偶性，符号因子可能为$1$或$-1$，因此原式仅在特定情况下成立。

行列式展开分析

题目中行列式形式为：
$\begin{vmatrix}& & a_{1n} \\& \cdots & \\a_{n1} & & \end{vmatrix}$
所有非反对角线元素均为$0$，因此展开时唯一非零项对应排列$\sigma = (n, n-1, \ldots, 1)$，即第一行取第$n$列，第二行取第$n-1$列，依此类推。

逆序数计算

排列$\sigma = (n, n-1, \ldots, 1)$的逆序数为：
$\tau(\sigma) = (n-1) + (n-2) + \cdots + 1 + 0 = \frac{n(n-1)}{2}.$

符号因子分析

符号因子为：
$(-1)^{\tau(\sigma)} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}.$

  • 当$\frac{n(n-1)}{2}$为偶数时，符号因子为$1$，等式成立。
  • 当$\frac{n(n-1)}{2}$为奇数时，符号因子为$-1$，等式不成立。

奇偶性讨论

  • 若$n \equiv 0 \pmod{4}$或$n \equiv 1 \pmod{4}$：$\frac{n(n-1)}{2}$为偶数，符号因子为$1$。
  • 若$n \equiv 2 \pmod{4}$或$n \equiv 3 \pmod{4}$：$\frac{n(n-1)}{2}$为奇数，符号因子为$-1$。

结论：行列式的值为$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$，与题目中的等式$a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$仅在符号因子为$1$时相等。因此，原题说法不总成立，答案为错。